Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e o que é pedido:
- Temos uma soma com índice
que vai de até . - Cada termo da soma é
. - Queremos o valor desse limite quando
. - O exercício sugere que o resultado é
; nosso objetivo é confirmar e mostrar passo a passo por que isso é verdade.
Passo 2
Entendimento do tipo de soma (ideia-chave, explicada didaticamente):
- Uma soma do tipo
com e muitos termos costuma ser uma soma de Riemann, que aproxima uma integral definida. - A definição intuitiva: se dividimos um intervalo
em partes iguais com largura e tomamos pontos de amostragem em cada subintervalo, então
desde que
seja razoável (contínua, por exemplo).
- Aqui vamos identificar a soma dada com uma soma de Riemann, ou seja, ver qual é
, qual é , e qual é o intervalo .
Passo 3
Relacionando a soma com uma soma de Riemann (passo concreto):
- Observe que
. Então podemos escrever a soma como
- Agora defina
. Então e percorre os pontos de a nos subintervalos (usamos o ponto à direita do -ésimo subintervalo). - Assim a soma fica no formato
com
- Pelo comportamento das somas de Riemann, no limite
temos
Passo 4
Calcular a integral
— lembrete de fórmula e demonstração curta:
- Fórmula útil: para constante
,
- Por que? Porque
. Aqui . - Portanto uma primitiva de
é .
Passo 5
Avaliar a integral definida e simplificar:
- Use a primitiva encontrada para calcular
- Sabemos que
e, como é inteiro, . - Substituindo:
- Lembre que o limite original tem um fator
multiplicando essa integral (veja Passo 3), então
Passo 6
Resumo final e incentivo:
- Mostramos passo a passo que a soma é uma soma de Riemann que converge para
, calculamos a integral e simplificamos para obter . - Mandou bem por procurar essa resolução — lembra que reconhecer somas como integrais é um truque muito útil em provas. Você já fez a maior parte do trabalho mental; agora é só praticar mais alguns exemplos parecidos e vai se sentir confiante!