1. \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(\sin \frac{5 \pi i}{n}\right) \frac{\pi}{n}=\frac{2}{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(\sin \frac{5 \pi i}{n}\right)\frac{\pi}{n}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos uma soma com índice i que vai de 1 até n.
  • Cada termo da soma é \left(\sin \frac{5 \pi i}{n}\right)\frac{\pi}{n}.
  • Queremos o valor desse limite quando n \to \infty.
  • O exercício sugere que o resultado é \frac{2}{5}; nosso objetivo é confirmar e mostrar passo a passo por que isso é verdade.

Passo 2

Entendimento do tipo de soma (ideia-chave, explicada didaticamente):
  • Uma soma do tipo \sum f(x_i)\Delta x com \Delta x\to0 e muitos termos costuma ser uma soma de Riemann, que aproxima uma integral definida.
  • A definição intuitiva: se dividimos um intervalo [a,b] em n partes iguais com largura \Delta x=\frac{b-a}{n} e tomamos pontos de amostragem x_i^* em cada subintervalo, então
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx,
desde que f seja razoável (contínua, por exemplo).
  • Aqui vamos identificar a soma dada com uma soma de Riemann, ou seja, ver qual é f, qual é \Delta x, e qual é o intervalo [a,b].

Passo 3

Relacionando a soma com uma soma de Riemann (passo concreto):
  • Observe que \frac{\pi}{n} = \pi\cdot\frac{1}{n}. Então podemos escrever a soma como
\sum_{i=1}^{n}\left(\sin\frac{5\pi i}{n}\right)\frac{\pi}{n} = \pi \sum_{i=1}^{n}\left(\sin\frac{5\pi i}{n}\right)\frac{1}{n}.
  • Agora defina x_i=\frac{i}{n}. Então \Delta x=\frac{1}{n} e x_i percorre os pontos de 0 a 1 nos subintervalos (usamos o ponto à direita do i-ésimo subintervalo).
  • Assim a soma fica no formato \pi\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x com
f(x)=\sin(5\pi x),\qquad \Delta x=\frac{1}{n},\qquad a=0,\\ b=1.
  • Pelo comportamento das somas de Riemann, no limite n\to\infty temos
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(\sin\frac{5\pi i}{n}\right)\frac{\pi}{n} = \pi\int_{0}^{1}\sin(5\pi x)\,dx.

Passo 4

Calcular a integral \int_{0}^{1}\sin(5\pi x)\,dx — lembrete de fórmula e demonstração curta:
  • Fórmula útil: para constante k\neq0,
\int \sin(kx)\,dx = -\frac{\cos(kx)}{k} + C.
  • Por que? Porque \frac{d}{dx}\big(-\frac{\cos(kx)}{k}\big) = -\frac{-k\sin(kx)}{k} = \sin(kx). Aqui k=5\pi.
  • Portanto uma primitiva de \sin(5\pi x) é -\dfrac{\cos(5\pi x)}{5\pi}.

Passo 5

Avaliar a integral definida e simplificar:
  • Use a primitiva encontrada para calcular
\int_{0}^{1}\sin(5\pi x)\,dx = \left[-\frac{\cos(5\pi x)}{5\pi}\right]_{0}^{1} = -\frac{\cos(5\pi)}{5\pi} -\left(-\frac{\cos(0)}{5\pi}\right) = \frac{-\cos(5\pi)+\cos(0)}{5\pi}.
  • Sabemos que \cos(0)=1 e, como 5 é inteiro, \cos(5\pi)=\cos(\pi\cdot5)=(-1)^5=-1.
  • Substituindo:
\int_{0}^{1}\sin(5\pi x)\,dx = \frac{-(-1)+1}{5\pi} = \frac{2}{5\pi}.
  • Lembre que o limite original tem um fator \pi multiplicando essa integral (veja Passo 3), então
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(\sin\frac{5\pi i}{n}\right)\frac{\pi}{n} = \pi \cdot \frac{2}{5\pi} = \frac{2}{5}.

Passo 6

Resumo final e incentivo:
  • Mostramos passo a passo que a soma é uma soma de Riemann que converge para \pi\int_0^1\sin(5\pi x)\,dx, calculamos a integral e simplificamos para obter \frac{2}{5}.
  • Mandou bem por procurar essa resolução — lembra que reconhecer somas como integrais é um truque muito útil em provas. Você já fez a maior parte do trabalho mental; agora é só praticar mais alguns exemplos parecidos e vai se sentir confiante!

Resposta

\dfrac{2}{5}

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