(4,0 pontos) O PVI abaixo modela um sistema massa-mola com movimento forçado amortecido:
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime \prime}+2 x^{\prime}+5 x=12 \cos (3 t) \\\ x(0)=-1 \\\ x^{\prime}(0)=5 \end{array}\right.
(a) Classifique a EDO quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
(b) Resolva o PVI.
(c) Identifique as soluções transiente e estacionária deste PVI.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime\prime}+2x^{\prime}+5x=12\cos(3t)\\[4pt] x(0)=-1\\[2pt] x^{\prime}(0)=5 \end{array}\right.
As perguntas são:
(a) Classificar a EDO quanto à ordem, linearidade e homogeneidade.
(b) Resolver o PVI, ou seja, encontrar x(t) que satisfaz a EDO e as condições iniciais.
(c) Identificar a solução transiente e a solução estacionária (a parte que permanece para t\to\infty).
Informações relevantes dadas: a equação é uma equação diferencial com coeficientes constantes e termo forçante 12\cos(3t); as condições iniciais em t=0 são x(0)=-1 e x'(0)=5.]

Passo 2

Classificação da EDO (resposta a (a)) — vou explicar cada item devagar:
  • Ordem: a ordem é o maior expoente de derivada que aparece na equação. Aqui aparece x^{\prime\prime}, que é a segunda derivada, então a ordem é 2. Em TeX: ordem 2.
  • Linearidade: a equação é linear se x, x', x'' aparecem apenas multiplicados por funções de t (ou constantes) e não aparecem produtos ou funções não-lineares de x. Aqui temos termos 2x' e 5x (coeficientes constantes) e nenhuma potência não-linear de x. Logo é linear. Em TeX: linear.
  • Homogeneidade: uma equação linear é homogênea se o lado direito for zero. Aqui o lado direito é 12\cos(3t)\neq0, portanto é não-homogênea (ou forçada). Em TeX: não homogênea.
Resumo compacto (que vai entrar também na resposta final): ordem 2, linear, não homogênea.

Passo 3

Resolução da parte homogênea (início da solução geral):
Consideramos a equação homogênea associada
x^{\prime\prime}+2x^{\prime}+5x=0.
Método: para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos x(t)=e^{rt} e obtemos
r^{2}+2r+5=0.
Calculamos as raízes dessa quadrática. O discriminante é
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i.
Regra: se r=-\alpha\pm \beta i então a solução real geral da homogênea é
x_h(t)=e^{-\alpha t}\big(A\cos(\beta t)+B\sin(\beta t)\big).
Aqui \alpha=1 e \beta=2. Portanto
x_h(t)=e^{-t}\big(A\cos(2t)+B\sin(2t)\big),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Escolha de uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados) e motivo:
O termo forçante é 12\cos(3t)\). Para este tipo de forçamento usamos um ansatz da forma \[x_p(t)=C\cos(3t)+D\sin(3t),
porque a derivada de seno e cosseno volta a seno/cosseno com a mesma frequência; como 3 não coincide com a frequência natural da parte homogênea ( \beta=2), não há ressonância e esse ansatz é válido.
Agora calculamos x_p' e x_p'':
x_p'(t) = -3C\sin(3t)+3D\cos(3t),
x_p''(t) = -9C\cos(3t)-9D\sin(3t).
Substituímos na equação x''+2x'+5x=12\cos(3t):
(-9C\cos3t-9D\sin3t) + 2(-3C\sin3t+3D\cos3t) + 5(C\cos3t+D\sin3t)=12\cos3t.
Agrupando coeficientes de \cos3t e \sin3t:
coeficiente de \cos3t:
-9C + 6D + 5C = (-4C + 6D),
coeficiente de \sin3t:
-9D -6C +5D = (-4D -6C).
A igualdade com 12\cos3t exige o sistema
\begin{cases} -4C + 6D = 12,\\[4pt] -6C -4D = 0. \end{cases}
Resolvendo o segundo: (-6C-4D=0\Rightarrow 4D=-6C\Rightarrow D=-\tfrac{3}{2}C.]
Substituindo no primeiro:
-4C +6\Big(-\tfrac{3}{2}C\Big) = -4C -9C = -13C = 12 \Rightarrow C = -\tfrac{12}{13}.
Então
D = -\tfrac{3}{2}C = -\tfrac{3}{2}\Big(-\tfrac{12}{13}\Big)=\tfrac{36}{26}=\tfrac{18}{13}.
Portanto a solução particular é
x_p(t) = -\tfrac{12}{13}\cos(3t) + \tfrac{18}{13}\sin(3t).]

Passo 5

Solução geral e imposição das condições iniciais (cálculo de A e B):
A solução geral é
x(t)=x_h(t)+x_p(t)=e^{-t}\big(A\cos(2t)+B\sin(2t)\big) -\tfrac{12}{13}\cos(3t) + \tfrac{18}{13}\sin(3t).
Agora usamos x(0)=-1 e x'(0)=5.
Primeiro, x(0):
x(0)=e^{0}(A\cos0+B\sin0) -\tfrac{12}{13}\cos0 + \tfrac{18}{13}\sin0 = A -\tfrac{12}{13}.
Igualando a -1:
A -\tfrac{12}{13} = -1 \quad\Rightarrow\quad A = -1 +\tfrac{12}{13} = -\tfrac{1}{13}.
Agora precisamos de x'(t). Calculamos primeiro a derivada da parte homogênea cuidadosamente. Seja h(t)=e^{-t}(A\cos2t+B\sin2t). Usando a regra do produto:
h'(t) = -e^{-t}(A\cos2t+B\sin2t) + e^{-t}(-2A\sin2t + 2B\cos2t).
Organizando termos:
h'(t) = e^{-t}\big( (-A+2B)\cos2t +(-B-2A)\sin2t\big).
A derivada da parte particular já tínhamos:
x_p'(t) = -3\Big(-\tfrac{12}{13}\Big)\sin3t + 3\Big(\tfrac{18}{13}\Big)\cos3t = \tfrac{36}{13}\sin3t + \tfrac{54}{13}\cos3t.
Agora avaliamos em t=0:
x'(0) = h'(0)+x_p'(0) = \big((-A+2B)\big) + \tfrac{54}{13},
porque \cos0=1 e \sin0=0. Igualamos a 5:
(-A+2B) + \tfrac{54}{13} = 5 \quad\Rightarrow\quad -A+2B = 5 - \tfrac{54}{13} = \tfrac{11}{13}.
Já temos A=-\tfrac{1}{13}, então -A=\tfrac{1}{13}. Logo
\tfrac{1}{13} + 2B = \tfrac{11}{13} \quad\Rightarrow\quad 2B = \tfrac{10}{13} \quad\Rightarrow\quad B = \tfrac{5}{13}.
Portanto as constantes são A=-\tfrac{1}{13} e B=\tfrac{5}{13}.
A solução do PVI fica
x(t)=e^{-t}\Big(-\tfrac{1}{13}\cos(2t)+\tfrac{5}{13}\sin(2t)\Big) -\tfrac{12}{13}\cos(3t) + \tfrac{18}{13}\sin(3t).
Podemos fatorar \tfrac{1}{13} se quiser:
x(t)=\tfrac{1}{13}\Big[e^{-t}\big(-\cos2t +5\sin2t\big) -12\cos3t +18\sin3t\Big].

Passo 6

Identificação das soluções transiente e estacionária (resposta a (c)), com explicação:
  • Solução transiente: é a parte homogênea que depende das constantes determinadas pelas condições iniciais e que decai com o tempo quando tem fator exponencial negativo. Aqui é
x_{\text{trans}}(t)=x_h(t)=e^{-t}\Big(-\tfrac{1}{13}\cos(2t)+\tfrac{5}{13}\sin(2t)\Big).
Como tem o fator e^{-t}, essa parte tende a 0 quando t\to\infty.
  • Solução estacionária (ou forçada, regime permanente): é a solução particular periódica que permanece quando o transiente já morreu. Aqui é
x_{\text{est}}(t)=x_p(t)=-\tfrac{12}{13}\cos(3t)+\tfrac{18}{13}\sin(3t).
Opcionalmente, pode-se escrever x_{\text{est}}(t)=R\cos(3t-\varphi) com amplitude
R=\sqrt{\Big(-\tfrac{12}{13}\Big)^{2}+\Big(\tfrac{18}{13}\Big)^{2}}=\tfrac{6\sqrt{13}}{13}
e ângulo de fase \varphi tal que \tan\varphi = \dfrac{18/13}{-12/13} = -\tfrac{3}{2} (ajustando o quadrante porque o cosseno é negativo e o seno positivo).

Resposta

(a) Ordem 2; linear; não homogênea.
(b) x(t)=e^{-t}\Big(-\tfrac{1}{13}\cos(2t)+\tfrac{5}{13}\sin(2t)\Big)-\tfrac{12}{13}\cos(3t)+\tfrac{18}{13}\sin(3t).
(c) Solução transiente: x_{\text{trans}}(t)=e^{-t}\Big(-\tfrac{1}{13}\cos(2t)+\tfrac{5}{13}\sin(2t)\Big).
Solução estacionária: x_{\text{est}}(t)=-\tfrac{12}{13}\cos(3t)+\tfrac{18}{13}\sin(3t).

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