As perguntas são:
(a) Classificar a EDO quanto à ordem, linearidade e homogeneidade.
(b) Resolver o PVI, ou seja, encontrar x(t) que satisfaz a EDO e as condições iniciais.
(c) Identificar a solução transiente e a solução estacionária (a parte que permanece para t\to\infty).
Informações relevantes dadas: a equação é uma equação diferencial com coeficientes constantes e termo forçante 12\cos(3t); as condições iniciais em t=0 são x(0)=-1 e x'(0)=5.]
Passo 2
Classificação da EDO (resposta a (a)) — vou explicar cada item devagar:
Ordem: a ordem é o maior expoente de derivada que aparece na equação. Aqui aparece x^{\prime\prime}, que é a segunda derivada, então a ordem é 2. Em TeX: ordem 2.
Linearidade: a equação é linear se x, x', x'' aparecem apenas multiplicados por funções de t (ou constantes) e não aparecem produtos ou funções não-lineares de x. Aqui temos termos 2x' e 5x (coeficientes constantes) e nenhuma potência não-linear de x. Logo é linear. Em TeX: linear.
Homogeneidade: uma equação linear é homogênea se o lado direito for zero. Aqui o lado direito é 12\cos(3t)\neq0, portanto é não-homogênea (ou forçada). Em TeX: não homogênea.
Resumo compacto (que vai entrar também na resposta final): ordem 2, linear, não homogênea.
Passo 3
Resolução da parte homogênea (início da solução geral):
Consideramos a equação homogênea associada
x^{\prime\prime}+2x^{\prime}+5x=0.
Método: para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos x(t)=e^{rt} e obtemos
r^{2}+2r+5=0.
Calculamos as raízes dessa quadrática. O discriminante é
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i.
Regra: se r=-\alpha\pm \beta i então a solução real geral da homogênea é
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Escolha de uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados) e motivo:
O termo forçante é 12\cos(3t)\). Para este tipo de forçamento usamos um ansatz da forma
\[x_p(t)=C\cos(3t)+D\sin(3t),
porque a derivada de seno e cosseno volta a seno/cosseno com a mesma frequência; como 3 não coincide com a frequência natural da parte homogênea (\beta=2), não há ressonância e esse ansatz é válido.
x(0)=e^{0}(A\cos0+B\sin0) -\tfrac{12}{13}\cos0 + \tfrac{18}{13}\sin0 = A -\tfrac{12}{13}.
Igualando a -1:
A -\tfrac{12}{13} = -1 \quad\Rightarrow\quad A = -1 +\tfrac{12}{13} = -\tfrac{1}{13}.
Agora precisamos de x'(t). Calculamos primeiro a derivada da parte homogênea cuidadosamente. Seja h(t)=e^{-t}(A\cos2t+B\sin2t). Usando a regra do produto:
Identificação das soluções transiente e estacionária (resposta a (c)), com explicação:
Solução transiente: é a parte homogênea que depende das constantes determinadas pelas condições iniciais e que decai com o tempo quando tem fator exponencial negativo. Aqui é
e ângulo de fase \varphi tal que \tan\varphi = \dfrac{18/13}{-12/13} = -\tfrac{3}{2} (ajustando o quadrante porque o cosseno é negativo e o seno positivo).