lim x a x^4-a^4x^2-a^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x a x^4-a^4x^2-a^2. Esse exercício está no tópico de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo polinômios e fatoração. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão usando fatoração polinomial e depois aplicar as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o numerador x^4 - a^4. Isso é uma diferença de potências, que podemos fatorar usando a fórmula da diferença de quadrados. Sabemos que x^4 - a^4 = (x^2)^2 - (a^2)^2, então podemos escrever:
x^4 - a^4 = (x^2 - a^2)(x^2 + a^2)

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original do limite:
lim x a (x^2 - a^2)(x^2 + a^2)x^2 - a^2

Passo 4

Vemos que o termo x^2 - a^2 está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar cancelando esses termos. Isso é válido desde que x neq a, o que é garantido pelo limite:
lim x a (x^2 + a^2)

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite diretamente substituindo x por a:
a^2 + a^2 = 2a^2

Resposta

O limite lim x a x^4-a^4x^2-a^2 é igual a 2a^2.

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