Derive.
f(v)=(vv^3+1)^6.

Passo 1

Vamos ver como resolver o exercício que pede para derivar a função f(v)=(vv^3+1)^6. Aqui estamos lidando com cálculo, especificamente a derivação de funções, e precisamos aplicar a regra da cadeia e a regra do quociente para resolver isso. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e como lidar com funções que estão divididas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da função. Temos uma função externa, que é a potência de 6, aplicada a uma função interna que é uma fração: vv^3+1.
Para derivar, vamos usar a regra da cadeia, que diz que se você tem uma função composta g(h(v)), a derivada é g'(h(v)) cdot h'(v). Ou seja, vamos derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.
Vamos chamar a função interna de u(v) = vv^3+1. Agora, a derivada da função f(v) será:
f'(v) = 6 cdot u(v)^5 cdot u'(v)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de u(v). Aqui, vamos aplicar a regra do quociente, que para uma função u(v) = a(v)b(v) é dada por:
u'(v) = a'(v)b(v) - a(v)b'(v)(b(v))^2
Onde, no nosso caso, a(v) = v e b(v) = v^3+1.
Vamos calcular as derivadas:
  • a'(v) = 1
  • b'(v) = 3v^2
Agora, aplicando a regra do quociente:
u'(v) = (1)(v^3+1) - (v)(3v^2)(v^3+1)^2 = v^3+1 - 3v^3(v^3+1)^2 = -2v^3+1(v^3+1)^2

Passo 4

Agora que temos u'(v), vamos retornar à derivada de f(v):
f'(v) = 6 cdot (vv^3+1)^5 cdot -2v^3+1(v^3+1)^2
Para simplificar, temos:
f'(v) = 6 cdot v^5(v^3+1)^5 cdot -2v^3+1(v^3+1)^2
Assim, podemos juntar os denominadores:
f'(v) = 6v^5(-2v^3+1) cdot 1(v^3+1)^7
E isso simplifica para:
f'(v) = 6v^5(-2v^3+1)(v^3+1)^7

Resposta

A derivada de f(v)=(vv^3+1)^6 é f'(v) = 6v^5(-2v^3+1)(v^3+1)^7.

Exercícios relacionados