Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e o que isso implica:
- A expressão é da forma
, ou seja é uma forma indeterminada do tipo . - Precisamos encontrar um número real que seja o limite quando
tende a . - Não há mais dados (como gráficos ou tabelas) — só a expressão algébrica acima.
Passo 2
Estratégia geral (sem calcular ainda): quando temos potências com expoente que depende de
, uma técnica muito útil é transformar a potência usando logaritmo natural, porque o log transforma potência em produto, e produtos são mais fáceis de analisar com limites. Em seguida, recuperamos o limite aplicando a função exponencial, que é contínua.
Explicando isso com calma:
- Se definirmos
e conseguirmos calcular , então o limite original é
desde que
exista (ou seja, não seja
sem controle). Isso vale porque a função
é contínua: limites passam por funções contínuas.
Passo 3
Aplicando a ideia acima: seja
. Então
Logo
desde que o limite interior exista. Agora vamos calcular
.
Passo 4
Para calcular
fazemos uma substituição simples para reconhecer um limite padrão. Seja
. Quando
temos
e
. Substituindo:
Portanto
Passo 5
Agora precisamos do limite padrão
. Vou mostrar uma forma direta e curta usando a regra de L’Hôpital (que é válida quando numerador e denominador tendem a
):
- Quando
, tanto quanto . Então aplicamos L’Hôpital:
Se preferir lembrar como fato padrão:
tem desenvolvimento em série
, então
. Ambas justificativas são equivalentes para nosso nível.
Passo 6
Voltando ao cálculo do Passo 4:
Portanto
.
Passo 7
Aplicando a exponenciação (lembre que exponencial é contínua), obtemos o limite buscado: