\lim _{x \rightarrow 0}(1+4 x)^{1 / x}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0} (1+4x)^{1/x}.
Informações dadas e o que isso implica:
  • A expressão é da forma (1+\text{algo que vai a }0)^{\text{algo que vai a }\infty}, ou seja é uma forma indeterminada do tipo 1^\infty.
  • Precisamos encontrar um número real que seja o limite quando x tende a 0.
  • Não há mais dados (como gráficos ou tabelas) — só a expressão algébrica acima.

Passo 2

Estratégia geral (sem calcular ainda): quando temos potências com expoente que depende de x, uma técnica muito útil é transformar a potência usando logaritmo natural, porque o log transforma potência em produto, e produtos são mais fáceis de analisar com limites. Em seguida, recuperamos o limite aplicando a função exponencial, que é contínua.
Explicando isso com calma:
  • Se definirmos y(x)=(1+4x)^{1/x} e conseguirmos calcular \lim_{x\to0}\ln(y(x)), então o limite original é
\lim_{x\to0} y(x) = \exp\Big(\lim_{x\to0} \ln(y(x))\Big),
desde que \lim_{x\to0} \ln(y(x)) exista (ou seja, não seja \pm\infty sem controle). Isso vale porque a função \exp é contínua: limites passam por funções contínuas.

Passo 3

Aplicando a ideia acima: seja y(x)=(1+4x)^{1/x}. Então
\ln(y(x))=\frac{1}{x}\ln(1+4x).
Logo
\lim_{x\to0} (1+4x)^{1/x}=\exp\!\left(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{x}\right),
desde que o limite interior exista. Agora vamos calcular \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+4x)}{x}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{x} fazemos uma substituição simples para reconhecer um limite padrão. Seja \displaystyle t=4x. Quando x\to0 temos t\to0 e x=t/4. Substituindo:
\frac{\ln(1+4x)}{x}=\frac{\ln(1+t)}{t/4}=4\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}.
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{x}=4\cdot\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 5

Agora precisamos do limite padrão \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}. Vou mostrar uma forma direta e curta usando a regra de L’Hôpital (que é válida quando numerador e denominador tendem a 0):
  • Quando t\to0, tanto \ln(1+t)\to 0 quanto t\to 0. Então aplicamos L’Hôpital:
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{\frac{d}{dt}\ln(1+t)}{\frac{d}{dt}t}=\lim_{t\to0}\frac{1}{1+t}=1.
Se preferir lembrar como fato padrão: \ln(1+t) tem desenvolvimento em série \ln(1+t)=t+o(t), então \ln(1+t)/t\to1. Ambas justificativas são equivalentes para nosso nível.

Passo 6

Voltando ao cálculo do Passo 4:
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{x}=4\cdot 1=4.
Portanto \displaystyle \lim_{x\to0}\ln\big((1+4x)^{1/x}\big)=4.

Passo 7

Aplicando a exponenciação (lembre que exponencial é contínua), obtemos o limite buscado:
\lim_{x\to0}(1+4x)^{1/x}=\exp(4)=e^{4}.

Resposta

e^{4}

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