Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável vai para infinito positivo:
. - A expressão é uma potência cuja base tende a
e cujo expoente tende a (pois ). - Queremos o valor numérico desse limite.
Passo 2
Observação sobre o tipo de indeterminação e escolha do método: ao olhar para
vemos que a base tende a
(pois
) e o expoente tende a
. Esse é o clássico caso do tipo
. Uma boa maneira de tratar limites desse tipo é tomar o logaritmo natural da expressão, transformar o problema em um limite de soma/produto (mais fácil de manipular) e depois exponenciar o resultado. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 3
Defino
Tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos
Agora reescrevo a expressão de forma que apareça uma razão cujo limite eu conheço. Faço a troca auxiliar
. Então, quando
temos
e
. Substituindo,
Passo 4
Agora preciso calcular o limite
Explico duas maneiras simples de ver esse limite ser
:
Método 1 — Regra de L’Hôpital: o numerador
e o denominador
, então é um caso
. Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
Método 2 — Série/Taylor (intuição): para small
,
logo
Ambos mostram que
Passo 5
Voltando para
, temos
Como
, concluímos que
. Portanto