\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3 x}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x}.
Informações dadas:
  • A variável vai para infinito positivo: x\rightarrow+\infty.
  • A expressão é uma potência cuja base tende a 1 e cujo expoente tende a +\infty (pois 3x\to+\infty).
  • Queremos o valor numérico desse limite.

Passo 2

Observação sobre o tipo de indeterminação e escolha do método: ao olhar para \left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x} vemos que a base tende a 1 (pois \frac{2}{x}\to0) e o expoente tende a +\infty. Esse é o clássico caso do tipo 1^{\infty}. Uma boa maneira de tratar limites desse tipo é tomar o logaritmo natural da expressão, transformar o problema em um limite de soma/produto (mais fácil de manipular) e depois exponenciar o resultado. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Defino
y=\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos
\ln y = 3x\cdot \ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right).
Agora reescrevo a expressão de forma que apareça uma razão cujo limite eu conheço. Faço a troca auxiliar \,t=\frac{2}{x}. Então, quando x\rightarrow+\infty temos t\rightarrow 0^+ e x=\frac{2}{t}. Substituindo,
\ln y = 3\cdot\frac{2}{t}\cdot \ln(1+t)=\;6\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 4

Agora preciso calcular o limite
\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1+t)}{t}.
Explico duas maneiras simples de ver esse limite ser 1:
Método 1 — Regra de L’Hôpital: o numerador \ln(1+t)\to 0 e o denominador t\to 0, então é um caso 0/0. Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{\frac{d}{dt}\ln(1+t)}{\frac{d}{dt}t}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{1+t}=1.
Método 2 — Série/Taylor (intuição): para small t,
\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\cdots,
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\frac{\ln(1+t)}{t}=1-\frac{t}{2}+\cdots\to 1\quad\text{quando }t\to 0.
Ambos mostram que
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.

Passo 5

Voltando para \ln y, temos
\lim_{x\to+\infty}\ln y=\lim_{t\to 0}6\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}=6\cdot 1=6.
Como \ln y\to 6, concluímos que y\to e^{6}. Portanto
\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x}=e^{6}.

Resposta

e^{6}

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