Logo a expressão está na forma indeterminada 1^{-\infty}. Isso significa que não podemos apenas substituir; precisamos manipular a expressão para reconhecer um limite conhecido.
Passo 3
Uma técnica muito útil é fazer uma mudança de variável que transforme a aproximação para +\infty. Seja t=-x. Quando x\to -\infty temos t\to +\infty. Substituindo x=-t na expressão obtemos:
porque \left(1+\dfrac{2}{t}\right)^{-3t}=\big(\big(1+\dfrac{2}{t}\big)^t\big)^{-3}. Então basta avaliar o limite de \left(1+\dfrac{2}{t}\right)^t quando t\to\infty.
Passo 5
Lembrar do limite clássico (e aprender por que vale): para qualquer constante a,
(Faça um checape mental — alternativa via logaritmo direto) Se quisermos confirmar pela forma do logaritmo sem a substituição, defina y=\left(1-\dfrac{2}{x}\right)^{3x} e calcule
\ln y=3x\ln\!\left(1-\frac{2}{x}\right).
Com u=-\dfrac{2}{x}\to 0 quando x\to -\infty, tem-se \ln(1+u)=u+o(u), então