\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3 x}=

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3x}.
Informações dadas: a expressão é \left(1-\dfrac{2}{x}\right)^{3x} e a variável x tende para -\infty. A pergunta é: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Vamos entender a forma desta expressão quando x\to -\infty. Observe o comportamento do termo base e do expoente separadamente:
\text{base: }\left(1-\frac{2}{x}\right)\to 1, \qquad \text{expoente: }3x\to -\infty.
Logo a expressão está na forma indeterminada 1^{-\infty}. Isso significa que não podemos apenas substituir; precisamos manipular a expressão para reconhecer um limite conhecido.

Passo 3

Uma técnica muito útil é fazer uma mudança de variável que transforme a aproximação para +\infty. Seja t=-x. Quando x\to -\infty temos t\to +\infty. Substituindo x=-t na expressão obtemos:
1-\frac{2}{x}=1-\frac{2}{-t}=1+\frac{2}{t},
e
3x=3(-t)=-3t.
Portanto a expressão torna-se
\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3x}=\left(1+\frac{2}{t}\right)^{-3t}, \qquad t\to+\infty.

Passo 4

Reescrevemos a potência para evidenciar um limite padrão:
\left(1+\frac{2}{t}\right)^{-3t}=\left[\left(1+\frac{2}{t}\right)^t\right]^{-3},
porque \left(1+\dfrac{2}{t}\right)^{-3t}=\big(\big(1+\dfrac{2}{t}\big)^t\big)^{-3}. Então basta avaliar o limite de \left(1+\dfrac{2}{t}\right)^t quando t\to\infty.

Passo 5

Lembrar do limite clássico (e aprender por que vale): para qualquer constante a,
\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{a}{t}\right)^t=e^{a}.
Explicação (rápida e didática): tome logaritmo natural,
\ln\!\left[\left(1+\frac{a}{t}\right)^t\right]=t\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right).
Como \frac{a}{t}\to 0, podemos usar a expansão em série \ln(1+u)=u+o(u) quando u\to 0. Com u=\dfrac{a}{t} temos
t\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right)=t\left(\frac{a}{t}+o\!\left(\frac{1}{t}\right)\right)=a+o(1)\xrightarrow[t\to\infty]{}a.
Portanto o logaritmo do limite é a, isto é o limite da potência é e^{a}.

Passo 6

Aplicando o resultado do passo anterior com a=2 obtemos
\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{2}{t}\right)^t=e^{2}.
Pelo passo 4, nossa expressão original é o inverso ao cubo desse limite, logo
\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{2}{t}\right)^{-3t}=\left(e^{2}\right)^{-3}=e^{-6}.

Passo 7

(Faça um checape mental — alternativa via logaritmo direto) Se quisermos confirmar pela forma do logaritmo sem a substituição, defina y=\left(1-\dfrac{2}{x}\right)^{3x} e calcule
\ln y=3x\ln\!\left(1-\frac{2}{x}\right).
Com u=-\dfrac{2}{x}\to 0 quando x\to -\infty, tem-se \ln(1+u)=u+o(u), então
3x\ln\!\left(1-\frac{2}{x}\right)=3x\left(-\frac{2}{x}+o\!\left(\frac{1}{x}\right)\right)=-6+o(1)\to -6,
portanto \ln y\to -6 e y\to e^{-6}. Mesmo resultado, checado.

Resposta

e^{-6}

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