\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\arcsin x}{x^{3}}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x-\arcsin x}{x^{3}}.
Informações dadas (explicitadas para não nos perder):
  • As funções envolvidas são \arctan x e \arcsin x.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Queremos o comportamento até ordem x^{3} (porque estamos dividindo por x^{3}).
    Nada mais é fornecido — vamos usar desenvolvimentos em série (polinômios de Taylor/Maclaurin) das funções em torno de 0 e, a partir disso, obter o limite.

Passo 2

Relembre (rapidinho, como se eu estivesse do seu lado no caderno): se uma função h é suficientemente derivável em 0, sua expansão de Taylor até a ordem 3 em x=0 é
h(x)=h(0)+h'(0)x+\frac{h''(0)}{2!}x^{2}+\frac{h^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+o(x^{3}),
onde o(x^{3}) significa “termos que, divididos por x^{3}, tendem a 0” quando x\to0. Vamos extrair as derivadas até a terceira ordem de \arctan x e \arcsin x, avaliá-las em 0 e montar essas expansões.

Passo 3

Vamos com calma em \displaystyle f(x)=\arctan x.
  • Primeiro: f(0)=\arctan 0=0.
  • Derivada primeira (regra da cadeia simples):
f'(x)=\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^{2}}.
Logo f'(0)=1.
  • Derivada segunda: derivamos f'(x)=(1+x^{2})^{-1}:
f''(x) = -1\cdot(1+x^{2})^{-2}\cdot 2x = -\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Logo f''(0)=0.
  • Derivada terceira: derivamos f''(x)=-2x(1+x^{2})^{-2}. Usando produto e cadeia:
f^{(3)}(x) = -2(1+x^{2})^{-2} + (-2x)\cdot\big(-2\big)(1+x^{2})^{-3}\cdot 2x.
Simplificando passo a passo:
f^{(3)}(x) = -2(1+x^{2})^{-2} + 8x^{2}(1+x^{2})^{-3} = \frac{-2(1+x^{2})+8x^{2}}{(1+x^{2})^{3}} = \frac{-2+6x^{2}}{(1+x^{2})^{3}}.
Assim f^{(3)}(0)=-2.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Taylor/Maclaurin para \arctan x até a ordem 3:
\arctan x = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+o(x^{3}) = 0 + 1\cdot x + 0 + \frac{-2}{3!}x^{3}+o(x^{3}).
Como 3!=6, obtemos
\arctan x = x - \frac{2}{6}x^{3}+o(x^{3}) = x - \frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3}).

Passo 5

Agora \displaystyle g(x)=\arcsin x.
  • Primeiro: g(0)=\arcsin 0=0.
  • Derivada primeira:
g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=(1-x^{2})^{-1/2},
logo g'(0)=1.
  • Derivada segunda: derivamos g'(x):
g''(x)=(-\tfrac{1}{2})(1-x^{2})^{-3/2}\cdot(-2x)=x(1-x^{2})^{-3/2},
então g''(0)=0.
  • Derivada terceira: derivamos g''(x)=x(1-x^{2})^{-3/2}. Usando produto e cadeia:
g^{(3)}(x) = 1\cdot(1-x^{2})^{-3/2} + x\cdot(-\tfrac{3}{2})(1-x^{2})^{-5/2}\cdot(-2x).
Simplificando:
g^{(3)}(x) = (1-x^{2})^{-3/2} + 3x^{2}(1-x^{2})^{-5/2} = \frac{(1-x^{2})+3x^{2}}{(1-x^{2})^{5/2}} = \frac{1+2x^{2}}{(1-x^{2})^{5/2}}.
Portanto g^{(3)}(0)=1.

Passo 6

Aplicando Taylor para \arcsin x até a ordem 3:
\arcsin x = g(0)+g'(0)x+\frac{g''(0)}{2!}x^{2}+\frac{g^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+o(x^{3}) = 0 + 1\cdot x + 0 + \frac{1}{3!}x^{3}+o(x^{3}).
Como 3!=6, temos
\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3}).

Passo 7

Subtraímos as duas expansões (tudo até ordem x^{3}):
\arctan x - \arcsin x = \Big(x - \frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\Big) - \Big(x + \frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\Big).
Os termos x se cancelam. Agrupando os termos em x^{3}:
\arctan x - \arcsin x = -\Big(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\Big)x^{3} + o(x^{3}) = -\frac{1}{2}x^{3} + o(x^{3}),
pois \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}.

Passo 8

Dividindo por x^{3} e fazendo x\to 0,
\frac{\arctan x - \arcsin x}{x^{3}} = -\frac{1}{2} + \frac{o(x^{3})}{x^{3}}.
Pelo significado de o(x^{3}), o segundo termo tende a 0 quando x\to 0. Logo o limite é
\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x - \arcsin x}{x^{3}} = -\frac{1}{2}.
Força aí — deu trabalho, mas chegar até as derivadas e cancelar os termos lineares é o truque padrão nessas questões.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

Exercícios relacionados