Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas (explicitadas para não nos perder):
- As funções envolvidas são
e . - O ponto de interesse é
. - Queremos o comportamento até ordem
(porque estamos dividindo por ).
Nada mais é fornecido — vamos usar desenvolvimentos em série (polinômios de Taylor/Maclaurin) das funções em torno dee, a partir disso, obter o limite.
Passo 2
Relembre (rapidinho, como se eu estivesse do seu lado no caderno): se uma função
é suficientemente derivável em
, sua expansão de Taylor até a ordem 3 em
é
onde
significa “termos que, divididos por
, tendem a
” quando
. Vamos extrair as derivadas até a terceira ordem de
e
, avaliá-las em
e montar essas expansões.
Passo 3
Vamos com calma em
.
- Primeiro:
. - Derivada primeira (regra da cadeia simples):
Logo
.
- Derivada segunda: derivamos
:
Logo
.
- Derivada terceira: derivamos
. Usando produto e cadeia:
Simplificando passo a passo:
Assim
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Taylor/Maclaurin para
até a ordem
:
Como
, obtemos
Passo 5
Agora
.
- Primeiro:
. - Derivada primeira:
logo
.
- Derivada segunda: derivamos
:
então
.
- Derivada terceira: derivamos
. Usando produto e cadeia:
Simplificando:
Portanto
.
Passo 6
Aplicando Taylor para
até a ordem
:
Como
, temos
Passo 7
Subtraímos as duas expansões (tudo até ordem
):
Os termos
se cancelam. Agrupando os termos em
:
pois
.
Passo 8
Dividindo por
e fazendo
,
Pelo significado de
, o segundo termo tende a
quando
. Logo o limite é
Força aí — deu trabalho, mas chegar até as derivadas e cancelar os termos lineares é o truque padrão nessas questões.