Passo 1
O que o problema pede: calcular
.
Informações dadas: a variável tende para
. Não há mais dados; portanto devemos trabalhar com
suficientemente grande (em particular
), onde as operações de potência usadas fazem sentido.
Informações dadas: a variável
Passo 2
Observação sobre domínio e regras de potência: para aplicar a identidade que vamos usar, precisamos que a base seja positiva. Como
, para
suficientemente grande temos
. Logo podemos usar a regra de potências abaixo sem problema.
Passo 3
Propriedade de potências que vamos usar: para qualquer
e quaisquer números reais
vale
Explicação curta (didática): aplicando o logaritmo natural obtemos
. Como a exponencial é injetora, segue a igualdade acima.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao numerador:
Agora
(para
), então
Passo 5
Conclusão direta: para todo
temos
. Portanto a expressão do enunciado é exatamente
sempre que
. Como
passa por valores positivos, o valor da expressão é identicamente
para
grandes, e assim o limite é
.
Resposta
1