\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(x^{x}\right)^{\frac{1}{x}}}{x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular \lim_{x\to\infty}\frac{\left(x^{x}\right)^{\frac{1}{x}}}{x}.
Informações dadas: a variável x tende para +\infty. Não há mais dados; portanto devemos trabalhar com x suficientemente grande (em particular x>0), onde as operações de potência usadas fazem sentido.

Passo 2

Observação sobre domínio e regras de potência: para aplicar a identidade que vamos usar, precisamos que a base seja positiva. Como x\to\infty, para x suficientemente grande temos x>0. Logo podemos usar a regra de potências abaixo sem problema.

Passo 3

Propriedade de potências que vamos usar: para qualquer a>0 e quaisquer números reais b,c vale
(a^{b})^{c}=a^{bc}.
Explicação curta (didática): aplicando o logaritmo natural obtemos \ln\big((a^{b})^{c}\big)=c\ln(a^{b})=c\cdot b\ln a=\ln\big(a^{bc}\big). Como a exponencial é injetora, segue a igualdade acima.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao numerador:
\left(x^{x}\right)^{\frac{1}{x}}=x^{\,x\cdot\frac{1}{x}}.
Agora x\cdot\frac{1}{x}=1 (para x\neq0), então
x^{\,x\cdot\frac{1}{x}}=x^{1}=x.

Passo 5

Conclusão direta: para todo x>0 temos \left(x^{x}\right)^{\frac{1}{x}}=x. Portanto a expressão do enunciado é exatamente
\frac{\left(x^{x}\right)^{\frac{1}{x}}}{x}=\frac{x}{x}=1
sempre que x>0. Como x\to\infty passa por valores positivos, o valor da expressão é identicamente 1 para x grandes, e assim o limite é 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados