Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da expressão
Informações relevantes fornecidas: a função envolvida é
(cosseno hiperbólico) e o ponto de interesse é
. Não há outras hipóteses adicionais no enunciado.
Passo 2
Vamos testar a substituição direta para ver se o limite é imediato. Substituindo
temos no numerador
. Lembrando que
, então o numerador é
. O denominador
em
também é
. Portanto a expressão é do tipo indeterminado
, então não podemos concluir o valor do limite por substituição direta.
Passo 3
Vou usar o Teorema de L’Hôpital (uma ferramenta padrão para limites do tipo
ou
). Ele diz, em palavras simples: se
e
e
e
são diferenciáveis perto de
(com
próximo de
), então
se esse último limite existir. Aqui
e
. As derivadas a usar são conhecidas:
(Para referência,
é o seno hiperbólico, definido por
.)
Passo 4
Aplicando L’Hôpital uma vez obtemos
Verificamos novamente a substituição direta:
e
, então ainda temos
. Ou seja, devemos aplicar L’Hôpital novamente.
Passo 5
Aplicando L’Hôpital pela segunda vez (derivando numerador e denominador outra vez) obtemos
Agora a substituição direta funciona:
, logo o limite é
Passo 6
Para reforçar a intuição, apresento um método alternativo (série de Taylor), que costuma aparecer em provas: a expansão em série de
centrada em
é
Subtraindo
e dividindo por
obtemos
Ao fazer
todos os termos com
desaparecem e sobra
, que confirma o resultado obtido com L’Hôpital.
Passo 7
Resumo final do raciocínio: substituição direta dá
(indeterminação), aplicamos L’Hôpital duas vezes usando
e
, e chegamos ao limite
.