\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\ln (1-x)}{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-\ln(1-x)}{\operatorname{sen} x}.
O conteúdo principal é cálculo de limite que gera indeterminação do tipo 0/0 e aplicação da regra de l’Hôpital.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação substituindo x=0: \ln(1+0)-\ln(1-0)=0 e \sen0=0.
Portanto, temos forma 0/0.

Passo 3

Pela regra de l’Hôpital, podemos derivar numerador e denominador:
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-\ln(1-x)}{\operatorname{sen} x} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{d}{dx}\bigl[\ln(1+x)-\ln(1-x)\bigr]}{\frac{d}{dx}[\operatorname{sen} x]}.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
\frac{d}{dx}[\ln(1+x)-\ln(1-x)] = \frac{1}{1+x} - \Bigl(-\frac{1}{1-x}\Bigr) = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} = \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{2}{1-x^2},
\frac{d}{dx}[\operatorname{sen} x] = \cos x.

Passo 5

Substituindo no limite:
\lim_{x\to0}\frac{2/(1-x^2)}{\cos x} = \frac{2}{(1-0)\cdot1} = 2.

Resposta

2

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