\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-x-2}{3 x^{2}-5 x-2}

Passo 1

O enunciado nos pede calcular \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-x-2}{3x^{2}-5x-2}.
O conteúdo envolvido é limite de função racional, identificação de indeterminação e fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Verificamos a forma substituindo x=2:
\text{numerador} = 2^{2}-2-2=4-4=0,
\text{denominador} = 3\cdot 2^{2}-5\cdot 2-2=12-10-2=0.
Logo temos a indeterminação \tfrac{0}{0} e precisamos fatorar para simplificar.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
x^{2}-x-2 = (x-2)(x+1)
3x^{2}-5x-2 = (x-2)(3x+1)

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x-2) para x\neq 2:
\frac{x^{2}-x-2}{3x^{2}-5x-2} = \frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(3x+1)} = \frac{x+1}{3x+1}.
Agora aplicamos o limite sem indeterminação:
\lim_{x\to 2}\frac{x+1}{3x+1} = \frac{2+1}{3\cdot 2+1} = \frac{3}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{7}

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