\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln (x) \sqrt[4]{x^{2}+5 x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln(x)\,\sqrt[4]{x^{2}+5x}}{x}. Vamos usar propriedades de limite de função composta e produto de limites, além da continuidade das funções envolvidas.

Passo 2

Calculamos separadamente \displaystyle \lim_{x\to1}\ln(x)=\ln(1)=0
e \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\sqrt[4]{x^{2}+5x}}{x} =\frac{\sqrt[4]{1^{2}+5\cdot1}}{1} =\sqrt[4]{6}.

Passo 3

Como \ln(x)\to0 e \sqrt[4]{x^{2}+5x}/x\to\sqrt[4]{6}\neq0, pelo produto de limites temos
\lim_{x\to1}\frac{\ln(x)\,\sqrt[4]{x^{2}+5x}}{x} =\bigl(\lim_{x\to1}\ln(x)\bigr)\cdot\bigl(\lim_{x\to1}\tfrac{\sqrt[4]{x^{2}+5x}}{x}\bigr) =0\cdot\sqrt[4]{6} =0.

Resposta

0

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