\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tanh} x}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tanh} x}{x}.
Este é um limite do tipo \tfrac{0}{0} envolvendo função hiperbólica; podemos usar a regra de L’Hospital ou a série de Taylor de \operatorname{tanh} x.

Passo 2

Aplicando a regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tanh} x\bigr)=\sech^2 x,
\frac{d}{dx}(x)=1.
Portanto,
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tanh} x}{x} =\lim_{x\to0}\sech^2 x =\sech^2(0).

Passo 3

Como \sech(0)=1, tem-se \sech^2(0)=1. Logo
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tanh} x}{x}=1.

Resposta

1

Exercícios relacionados