\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x^{\circ}}{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^{\circ}}{x}
Este é um limite envolvendo a função seno em argumento dado em graus. Para resolvê-lo, vamos precisar converter graus em radianos e usar o limite padrão
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Converter x^{\circ} para radianos. Sabemos que
1^{\circ} = \frac{\pi}{180}\text{ rad},
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x^{\circ} = \frac{\pi x}{180}\text{ rad}.
Portanto
\sin x^{\circ} = \sin\!\Bigl(\frac{\pi x}{180}\Bigr).

Passo 3

Reescrevendo a razão em função de t=\frac{\pi x}{180}, temos
\frac{\sin x^{\circ}}{x} = \frac{\sin\!\bigl(\frac{\pi x}{180}\bigr)}{x} = \frac{\sin t}{t}\cdot \frac{t}{x} \quad\text{com}\quad t=\frac{\pi x}{180}.
Mas
\frac{t}{x}=\frac{\pi x/180}{x}=\frac{\pi}{180},
e pelo limite padrão
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Resposta

\lim_{x\to0}\frac{\sin x^{\circ}}{x}=\frac{\pi}{180}.

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