\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x+4 x}{5 x-\tan 2 x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{\sin3x+4x}{5x-\tan2x}.
Para resolver, vamos usar os limites fundamentais \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1 e \lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1.

Passo 2

Fatoramos x tanto no numerador quanto no denominador:
\sin3x+4x = x\Bigl(\frac{\sin3x}{x}+4\Bigr),
5x-\tan2x = x\Bigl(5-\frac{\tan2x}{x}\Bigr).

Passo 3

Usamos os limites fundamentais no interior dos parênteses:
\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x} =3, \qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan2x}{x} =2.
Portanto, quando x\to0,
o numerador tende a 3+4=7 e o denominador tende a 5-2=3.

Passo 4

Como o fator x cancela,
\lim_{x\to0}\frac{\sin3x+4x}{5x-\tan2x} =\frac{7}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{3}

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