Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão a ser avaliada é
. - O ponto de interesse para o limite é
.
O que precisamos entregar: o valor numérico do limite.
Passo 2
Primeiro vamos manipular a expressão algébrica para deixá-la numa forma mais conveniente. Observe que o polinômio do denominador fatoriza:
Portanto a expressão pode ser reescrita como
Agora separamos a parte que depende de
da parte que tem
:
Explicando: isso é uma simples fatoração e separação em produto; é útil porque, quando
, a função
tende para um número não nulo, então podemos tratar
à parte.
Passo 3
Usamos a propriedade de limites (produto de limites): se
e
existem, então
Aplicando isso à fatoração anterior:
Calcule a primeira parte: como
,
Passo 4
Falta então calcular
Fazemos a substituição
. Quando
, temos
. Assim o limite fica
Este é um limite fundamental. Vou demonstrar por um raciocínio clássico (desigualdades e teorema do aperto):
Para
vale a desigualdade geométrica bem conhecida
Dividindo todos os termos por
(positivo nesse intervalo) obtemos
Invertendo os termos (e lembrando que inverter preserva a ordem quando todos são positivos) dá
Agora, pela continuidade da função cosseno,
. Pelo teorema do aperto (squeeze theorem), a quantidade presa entre
e
também tende a
. Logo
Para
negativo o mesmo resultado vale porque
. Portanto o limite bilateral existe e é
.
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores: