1. \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x-1)}{x^{2}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 1:
\lim_{x \to 1} \frac{\operatorname{sen}(x-1)}{x^{2}+x-2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão a ser avaliada é \dfrac{\operatorname{sen}(x-1)}{x^{2}+x-2}.
  • O ponto de interesse para o limite é x=1.
    O que precisamos entregar: o valor numérico do limite.

Passo 2

Primeiro vamos manipular a expressão algébrica para deixá-la numa forma mais conveniente. Observe que o polinômio do denominador fatoriza:
x^{2}+x-2=(x-1)(x+2).
Portanto a expressão pode ser reescrita como
\frac{\operatorname{sen}(x-1)}{x^{2}+x-2}=\frac{\operatorname{sen}(x-1)}{(x-1)(x+2)}.
Agora separamos a parte que depende de x+2 da parte que tem (x-1):
\frac{\operatorname{sen}(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{1}{x+2}\cdot\frac{\operatorname{sen}(x-1)}{x-1}.
Explicando: isso é uma simples fatoração e separação em produto; é útil porque, quando x\to1, a função x+2 tende para um número não nulo, então podemos tratar \dfrac{1}{x+2} à parte.

Passo 3

Usamos a propriedade de limites (produto de limites): se \lim_{x\to1} f(x) e \lim_{x\to1} g(x) existem, então
\lim_{x\to1} f(x)g(x)=\left(\lim_{x\to1} f(x)\right)\left(\lim_{x\to1} g(x)\right).
Aplicando isso à fatoração anterior:
\lim_{x\to1}\frac{\operatorname{sen}(x-1)}{x^{2}+x-2} =\left(\lim_{x\to1}\frac{1}{x+2}\right)\left(\lim_{x\to1}\frac{\operatorname{sen}(x-1)}{x-1}\right).
Calcule a primeira parte: como x\to1,
\lim_{x\to1}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Falta então calcular
\lim_{x\to1}\frac{\operatorname{sen}(x-1)}{x-1}.
Fazemos a substituição t=x-1. Quando x\to1, temos t\to0. Assim o limite fica
\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen}t}{t}.
Este é um limite fundamental. Vou demonstrar por um raciocínio clássico (desigualdades e teorema do aperto):
Para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica bem conhecida
\sin t < t < \tan t.
Dividindo todos os termos por \sin t (positivo nesse intervalo) obtemos
1 < \frac{t}{\sin t} < \frac{1}{\cos t}.
Invertendo os termos (e lembrando que inverter preserva a ordem quando todos são positivos) dá
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Agora, pela continuidade da função cosseno, \lim_{t\to0}\cos t=1. Pelo teorema do aperto (squeeze theorem), a quantidade presa entre \cos t e 1 também tende a 1. Logo
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Para t negativo o mesmo resultado vale porque \dfrac{\sin(-t)}{-t}=\dfrac{\sin t}{t}. Portanto o limite bilateral existe e é 1.

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores:
\lim_{x\to1}\frac{\operatorname{sen}(x-1)}{x^{2}+x-2} =\left(\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1\right) =\frac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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