Passo 1
O que o problema pede: calcular o limite
Informações dadas: a função é
dividida por
e a aproximação é quando
tende a
. A pergunta é apenas esse limite.
Passo 2
Fato fundamental que vamos usar (explicação detalhada): a identidade básica de limites
Por que isso vale? Uma demonstração simples usa o Teorema do Aperto (squeeze theorem) para
perto de zero. Para
vale a desigualdade geométrica
Dividindo toda a desigualdade por
obtemos
Invertendo os três termos (a inversão preserva as desigualdades porque todos são positivos) fica
Como
, pelo Teorema do Aperto segue que
Para valores negativos de
a função
é par (pois
), então o limite nos dois lados também é
. Portanto a identidade está provada e entendida.
Passo 3
Aplicando essa identidade ao nosso limite: faça a substituição conveniente
. Observe que quando
então
. Reescrevendo a expressão,
Como
temos
. Substituindo,
Passo 4
Agora tome o limite quando
(equivalente a
):
Pelo resultado do Passo 2,
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