1. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 3 x}{x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} 3x}{x}.
Informações dadas: a função é \operatorname{sen} 3x dividida por x e a aproximação é quando x tende a 0. A pergunta é apenas esse limite.

Passo 2

Fato fundamental que vamos usar (explicação detalhada): a identidade básica de limites
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Por que isso vale? Uma demonstração simples usa o Teorema do Aperto (squeeze theorem) para t perto de zero. Para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\operatorname{sen} t < t < \operatorname{tg} t.
Dividindo toda a desigualdade por \operatorname{sen} t>0 obtemos
1 < \frac{t}{\operatorname{sen} t} < \frac{1}{\cos t}.
Invertendo os três termos (a inversão preserva as desigualdades porque todos são positivos) fica
\cos t < \frac{\operatorname{sen} t}{t} < 1.
Como \lim_{t\to 0}\cos t = 1, pelo Teorema do Aperto segue que
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Para valores negativos de t a função \operatorname{sen} t/t é par (pois \operatorname{sen}(-t)/(-t)=\operatorname{sen} t/t), então o limite nos dois lados também é 1. Portanto a identidade está provada e entendida.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso limite: faça a substituição conveniente \,t=3x. Observe que quando x\to 0 então t=3x\to 0. Reescrevendo a expressão,
\frac{\operatorname{sen} 3x}{x} = \frac{\operatorname{sen} t}{x}.
Como t=3x temos x=\dfrac{t}{3}. Substituindo,
\frac{\operatorname{sen} 3x}{x} = \frac{\operatorname{sen} t}{t/3} = 3\cdot\frac{\operatorname{sen} t}{t}.

Passo 4

Agora tome o limite quando x\to 0 (equivalente a t\to 0):
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} 3x}{x} = \lim_{t\to 0} 3\cdot\frac{\operatorname{sen} t}{t} = 3\cdot\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}.
Pelo resultado do Passo 2, \lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}=1. Logo
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} 3x}{x}=3\cdot 1=3.

Resposta

3

Exercícios relacionados