1. Encontre constantes A e B de forma que a função y=A \operatorname{sen} x+B \cos x satisfaça a equação diferencial y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=\operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=A\sin x+B\cos x e pede para encontrar as constantes \displaystyle A e \displaystyle B de forma que essa função satisfaça a equação diferencial
y''+y'-2y=\sin x.
Informações relevantes:
  • A forma explícita de y é \displaystyle y=A\sin x+B\cos x.
  • A equação impõe que, para todo x, a combinação y''+y'-2y deve ser igual a \sin x.
  • Quer-se determinar os números reais \displaystyle A e \displaystyle B.

Passo 2

Calcular y' e y''. Lembre que:
  • \dfrac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x,
  • \dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.
Derivando \displaystyle y=A\sin x+B\cos x obtemos
y' = A\cos x - B\sin x.
Derivando novamente,
y'' = -A\sin x - B\cos x.

Passo 3

Substituir y, y' e y'' na expressão y''+y'-2y. Vamos organizar os termos em coeficientes de \sin x e \cos x.
Escrevendo cada contribuição:
y'' = -A\sin x - B\cos x,
y' = A\cos x - B\sin x,
-2y = -2A\sin x -2B\cos x.
Somando:
y''+y'-2y = (-A\sin x - B\cos x) + (A\cos x - B\sin x) + (-2A\sin x -2B\cos x).
Agrupando os termos por \sin x e \cos x:
  • Coeficiente de \sin x: -A (de y'') mais -B (de y') mais -2A (de -2y). Soma: -3A - B.
  • Coeficiente de \cos x: -B (de y'') mais A (de y') mais -2B (de -2y). Soma: A - 3B.
Portanto
y''+y'-2y = (-3A - B)\sin x + (A - 3B)\cos x.

Passo 4

Igualar essa expressão ao lado direito \sin x. Escrevendo \sin x como 1\cdot\sin x + 0\cdot\cos x, obtemos a identidade para todos os x:
(-3A - B)\sin x + (A - 3B)\cos x = 1\cdot\sin x + 0\cdot\cos x.
Como \sin x e \cos x são funções linearmente independentes (isto é, não existe combinação constante que as torne iguais para todo x), os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Assim obtemos o sistema linear
\begin{cases} -3A - B = 1,\\[4pt] A - 3B = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema. Da segunda equação temos
A = 3B.
Substituindo na primeira:
-3(3B) - B = 1.
Calcular o lado esquerdo:
-9B - B = -10B.
Então
-10B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = -\dfrac{1}{10}.

Passo 6

Encontrar A usando A=3B:
A = 3\!\left(-\dfrac{1}{10}\right) = -\dfrac{3}{10}.

Passo 7

Verificação rápida (checar coeficientes):
  • -3A-B = -3\!\left(-\dfrac{3}{10}\right) -\left(-\dfrac{1}{10}\right) = \dfrac{9}{10} + \dfrac{1}{10} = 1.
  • A-3B = -\dfrac{3}{10} - 3\!\left(-\dfrac{1}{10}\right) = -\dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{10} = 0.
Portanto os coeficientes batem com o lado direito \sin x.

Resposta

\displaystyle A=-\dfrac{3}{10}
\displaystyle B=-\dfrac{1}{10}

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