- Encontre constantes
e
de forma que a função
satisfaça a equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as constantes
e
de forma que essa função satisfaça a equação diferencial
Informações relevantes:
- A forma explícita de
é . - A equação impõe que, para todo
, a combinação deve ser igual a . - Quer-se determinar os números reais
e .
Passo 2
Calcular
e
. Lembre que:
-
, -
.
Derivando
obtemos
Derivando novamente,
Passo 3
Substituir
,
e
na expressão
. Vamos organizar os termos em coeficientes de
e
.
Escrevendo cada contribuição:
Somando:
Agrupando os termos por
e
:
- Coeficiente de
: (de ) mais (de ) mais (de ). Soma: . - Coeficiente de
: (de ) mais (de ) mais (de ). Soma: .
Portanto
Passo 4
Igualar essa expressão ao lado direito
. Escrevendo
como
, obtemos a identidade para todos os
:
Como
e
são funções linearmente independentes (isto é, não existe combinação constante que as torne iguais para todo
), os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Assim obtemos o sistema linear
Passo 5
Resolver o sistema. Da segunda equação temos
Substituindo na primeira:
Calcular o lado esquerdo:
Então
Passo 6
Encontrar
usando
:
Passo 7
Verificação rápida (checar coeficientes):
-
. -
.
Portanto os coeficientes batem com o lado direito
.