\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x^{3}-8}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x^{3}-8}.
Ao substituir x=2 direto, obtemos \tfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Então vamos usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador usando diferença de quadrados e diferença de cubos:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2),
x^{3}-8 = x^{3}-2^{3} = (x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr).

Passo 3

Cancelamos o fator comum (x-2) em numerador e denominador, obtendo
\frac{x^{2}-4}{x^{3}-8} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x^{2}+2x+4)} = \frac{x+2}{x^{2}+2x+4}.
Agora substituímos x=2:
\frac{2+2}{2^{2}+2\cdot2+4} = \frac{4}{4+4+4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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