\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\tan x}-e^{x}}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to 0} \frac{e^{\tan x} - e^{x}}{x^{3}}.
Vamos usar séries de Taylor em torno de x=0 para \tan x e exponencial, pois é o método mais direto para quando aparece diferença de funções e divisão por potências de x.

Passo 2

Expandimos \tan x até a ordem x^{3}:
\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + O(x^{5}).

Passo 3

Escrevemos
e^{\tan x} = e^{\,x + \frac{x^{3}}{3} + O(x^{5})} = e^{x}\,\exp\!\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3} + O(x^{5})\Bigr) = e^{x}\Bigl(1 + \tfrac{x^{3}}{3} + O(x^{5})\Bigr).
Logo o numerador vira
e^{\tan x} - e^{x} = e^{x}\Bigl(1 + \tfrac{x^{3}}{3} + O(x^{5})\Bigr) - e^{x} = e^{x}\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3} + O(x^{5})\Bigr).

Passo 4

Dividindo por x^{3}:
\frac{e^{\tan x} - e^{x}}{x^{3}} = e^{x}\Bigl(\tfrac{1}{3} + O(x^{2})\Bigr).
Fazendo x\to0 obtemos
\lim_{x\to0}\frac{e^{\tan x} - e^{x}}{x^{3}} = e^{0}\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{3}

Exercícios relacionados