\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2} \operatorname{sen} \frac{1}{x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0^{+}}\frac{x^{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1x\bigr)}{x}.
O conteúdo principal aqui é cálculo de limite usando manipulações algébricas e o Teorema do Confronto (ou “Sanduíche”), já que \operatorname{sen}(1/x) oscila mas fica sempre entre -1 e 1.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão dividindo x^{2} por x:
\frac{x^{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1x\bigr)}{x} = x\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1x\bigr).

Passo 3

Sabemos que
-1\le \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1x\bigr)\le 1
para todo x\neq0. Multiplicando essa desigualdade por x>0 (já que x\to0^+), obtemos
-x \le x\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1x\bigr)\le x.

Passo 4

Agora calculamos os limites das extremas:
\lim_{x\to0^{+}}(-x)=0, \qquad \lim_{x\to0^{+}}x=0.
Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária também tende a 0.

Resposta

0

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