\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}-\operatorname{sen}^{2} x}{x^{2} \operatorname{sen}^{2} x}

Passo 1

O enunciado nos pede o limite
\lim_{x\to0^{+}}\frac{x^{2}-\operatorname{sen}^{2}x}{x^{2}\,\operatorname{sen}^{2}x}.
O conteúdo envolve uma indeterminação do tipo 0/0 e vamos usar a expansão em série de Taylor de \operatorname{sen} x em torno de 0.

Passo 2

A série de Taylor de \operatorname{sen} x em torno de 0 até termos de ordem x^{3} é
\operatorname{sen} x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}).

Passo 3

Elevando ao quadrado,
\operatorname{sen}^{2}x = \bigl(x - \tfrac{x^{3}}{6} + O(x^{5})\bigr)^{2} = x^{2} - \frac{x^{4}}{3} + O(x^{6}).

Passo 4

Substituindo em numerador e denominador:
numerador
x^{2} - \operatorname{sen}^{2}x = x^{2} - \bigl(x^{2} - \tfrac{x^{4}}{3} + O(x^{6})\bigr) = \frac{x^{4}}{3} + O(x^{6}),
denominador
x^{2}\,\operatorname{sen}^{2}x = x^{2}\bigl(x^{2} - \tfrac{x^{4}}{3} + O(x^{6})\bigr) = x^{4} + O(x^{6}).
Portanto
\frac{x^{2}-\operatorname{sen}^{2}x}{x^{2}\,\operatorname{sen}^{2}x} = \frac{\tfrac{x^{4}}{3} + O(x^{6})}{x^{4} + O(x^{6})} \;\longrightarrow\;\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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