Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão dentro do limite é uma potência com base
e expoente . - Se fizermos a substituição direta
no expoente, obtemos , que é uma forma indeterminada. Portanto não podemos apenas substituir e precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 2
Vamos manipular o expoente
. Repare que o numerador é uma diferença de quadrados; a fatoração padrão é
Essa fatoração é uma identidade algébrica: para qualquer
vale a igualdade acima. Vou usar essa identidade para simplificar o expoente.
Passo 3
Substituindo a fatoração do numerador no expoente temos, para
,
Como aqui estamos calculando um limite quando
se aproxima de
(mas não é exatamente
), podemos cancelar o fator comum
, obtendo
Portanto, para todos os
próximos de
(exceto
), a expressão original é igual a
.
Passo 4
Usando a simplificação do passo anterior, o limite fica
Agora aplicamos propriedades de limites e continuidade: a função exponencial
com base fixa
é contínua em
. Isso permite trocar limite e função, ou seja,
Passo 5
Calcule o limite do polinômio simples no expoente:
Substituindo na expressão do passo anterior:
Passo 6
Compute
. Sabemos que
Portanto o valor do limite é
.