\lim _{x \rightarrow 2} 3^{\frac{x^{2}-4}{x-2}}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 2} 3^{\frac{x^{2}-4}{x-2}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão dentro do limite é uma potência com base 3 e expoente \dfrac{x^{2}-4}{x-2}.
  • Se fizermos a substituição direta x=2 no expoente, obtemos \dfrac{2^{2}-4}{2-2}=\dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Portanto não podemos apenas substituir e precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Vamos manipular o expoente \dfrac{x^{2}-4}{x-2}. Repare que o numerador é uma diferença de quadrados; a fatoração padrão é
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Essa fatoração é uma identidade algébrica: para qualquer x vale a igualdade acima. Vou usar essa identidade para simplificar o expoente.

Passo 3

Substituindo a fatoração do numerador no expoente temos, para x\neq 2,
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
Como aqui estamos calculando um limite quando x se aproxima de 2 (mas não é exatamente 2), podemos cancelar o fator comum x-2, obtendo
\frac{x^{2}-4}{x-2}=x+2 \qquad\text{para }x\neq 2.
Portanto, para todos os x próximos de 2 (exceto x=2), a expressão original é igual a 3^{x+2}.

Passo 4

Usando a simplificação do passo anterior, o limite fica
\lim_{x\to 2} 3^{\frac{x^{2}-4}{x-2}}=\lim_{x\to 2} 3^{x+2}.
Agora aplicamos propriedades de limites e continuidade: a função exponencial a^{t} com base fixa a>0 é contínua em t. Isso permite trocar limite e função, ou seja,
\lim_{x\to 2} 3^{x+2}=3^{\lim_{x\to 2}(x+2)}.

Passo 5

Calcule o limite do polinômio simples no expoente:
\lim_{x\to 2}(x+2)=2+2=4.
Substituindo na expressão do passo anterior:
3^{\lim_{x\to 2}(x+2)}=3^{4}.

Passo 6

Compute 3^{4}. Sabemos que
3^{2}=9,\quad 3^{3}=27,\quad 3^{4}=81.
Portanto o valor do limite é 81.

Resposta

81

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