Passo 1
O enunciado pede claramente o cálculo do limite
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - O ponto de interesse para o limite é
.
Passo 2
Teste de substituição direta (é sempre o primeiro teste que eu faço para limites): substituir
em numerador e denominador para ver se dá um valor determinado.
Como ao substituir aparece a forma
, isso é uma indeterminação. Significa que não dá para decidir o limite só pela substituição; é preciso manipular a expressão (fatorar, simplificar ou usar outro método).
Breve explicação didática: a forma
é chamada indeterminada porque pode acontecer que o limite exista (um número finito), seja infinito, ou não exista — tudo depende de como numerador e denominador se comportam ao redor do ponto. Por isso precisamos transformar a expressão.
Passo 3
Tentar fatorar numerador e denominador para cancelar possíveis fatores comuns (método simples e clássico para racional functions).
Fatorando o numerador:
Fatorando o denominador: procurar dois números cujo produto seja
e soma seja
. Esses números são
e
. Então
Portanto a função pode ser reescrita (para
) como
Passo 4
Cancelar o fator comum
. Justificativa: para
a igualdade acima vale e, como limite considera valores de
próximos de
mas diferentes de
, a função original e a função simplificada têm o mesmo limite no ponto. Assim podemos simplificar para
Observação didática: geometricamente isso corresponde a uma descontinuidade removível em
— o gráfico tem um “buraco” naquele ponto, mas ao redor a função segue a curva
.
Passo 5
Agora que a expressão foi simplificada, calcular o limite simplesmente avaliando a função simplificada em
(ela é contínua nesse ponto):
Explicando a conta:
;
.
Passo 6
Comentário extra (opcional): poderia-se também aplicar a Regra de L’Hôpital porque a forma era
. Derivando numerador e denominador:
Avaliando em
:
confirmando o resultado. Porém a fatoração e cancelamento são mais simples aqui, por isso usei esse método principal.