\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+x}{x^{2}-3 x-4}

Passo 1

O enunciado pede claramente o cálculo do limite
\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}+x}{x^{2}-3x-4}.
Informações dadas:
  • Numerador: \;x^{2}+x.
  • Denominador: \;x^{2}-3x-4.
  • O ponto de interesse para o limite é x\to -1.

Passo 2

Teste de substituição direta (é sempre o primeiro teste que eu faço para limites): substituir x=-1 em numerador e denominador para ver se dá um valor determinado.
\text{Numerador em }x=-1:\quad (-1)^{2}+(-1)=1-1=0.
\text{Denominador em }x=-1:\quad (-1)^{2}-3(-1)-4=1+3-4=0.
Como ao substituir aparece a forma \dfrac{0}{0}, isso é uma indeterminação. Significa que não dá para decidir o limite só pela substituição; é preciso manipular a expressão (fatorar, simplificar ou usar outro método).
Breve explicação didática: a forma \dfrac{0}{0} é chamada indeterminada porque pode acontecer que o limite exista (um número finito), seja infinito, ou não exista — tudo depende de como numerador e denominador se comportam ao redor do ponto. Por isso precisamos transformar a expressão.

Passo 3

Tentar fatorar numerador e denominador para cancelar possíveis fatores comuns (método simples e clássico para racional functions).
Fatorando o numerador:
x^{2}+x = x(x+1).
Fatorando o denominador: procurar dois números cujo produto seja -4 e soma seja -3. Esses números são -4 e +1. Então
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).
Portanto a função pode ser reescrita (para x\neq -1) como
\frac{x^{2}+x}{x^{2}-3x-4}=\frac{x(x+1)}{(x-4)(x+1)}.

Passo 4

Cancelar o fator comum (x+1). Justificativa: para x\neq -1 a igualdade acima vale e, como limite considera valores de x próximos de -1 mas diferentes de -1, a função original e a função simplificada têm o mesmo limite no ponto. Assim podemos simplificar para
\frac{x(x+1)}{(x-4)(x+1)}=\frac{x}{x-4}\quad\text{(para }x\neq -1\text{)}.
Observação didática: geometricamente isso corresponde a uma descontinuidade removível em x=-1 — o gráfico tem um “buraco” naquele ponto, mas ao redor a função segue a curva \dfrac{x}{x-4}.

Passo 5

Agora que a expressão foi simplificada, calcular o limite simplesmente avaliando a função simplificada em x=-1 (ela é contínua nesse ponto):
\lim_{x\to -1}\frac{x}{x-4}=\frac{-1}{-1-4}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}.
Explicando a conta: -1-4=-5; -1)/(-5)=1/5.

Passo 6

Comentário extra (opcional): poderia-se também aplicar a Regra de L’Hôpital porque a forma era \tfrac{0}{0}. Derivando numerador e denominador:
\text{num}' = 2x+1,\qquad \text{den}'=2x-3.
Avaliando em x=-1:
\frac{2(-1)+1}{2(-1)-3}=\frac{-2+1}{-2-3}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5},
confirmando o resultado. Porém a fatoração e cancelamento são mais simples aqui, por isso usei esse método principal.

Resposta

\dfrac{1}{5}

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