Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A expressão envolve a função raiz quadrada
. - O ponto onde o limite deve ser calculado é
.
O que queremos encontrar: o valor numérico de
Passo 2
Primeiro teste: tentativa de substituição direta para ver se dá um número ou uma indeterminação.
Calcular o numerador e denominador em
:
então o numerador fica
, e o denominador
. Logo a forma obtida por substituição direta é
que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo — é preciso manipular a expressão.
Passo 3
Estratégia de resolução (explicação didática do método escolhido):
- Quando aparece uma raiz e surge uma indeterminação do tipo
, um truque algébrico muito útil é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador (ou do denominador). O conjugado de é . - Multiplicar por esse conjugado elimina a raiz do numerador, transformando a diferença de raízes em uma diferença de quadrados, o que normalmente permite simplificar fatores que geram a indeterminação.
- Evitei usar regras de cálculo mais avançadas (por exemplo, Regra de L’Hôpital) porque o conjugado resolve direto com álgebra elementar — método mais básico e seguro para uma prova sem calculadora.
Passo 4
Aplicar o conjugado: multiplicar numerador e denominador por
. Escrevendo isso:
No numerador aplicamos a identidade de produto de conjugados:
Passo 5
Calcular explicitamente o numerador após a identidade:
Fatorando
obtemos
Substituindo isso na fração obtida no Passo 4, temos:
Passo 6
Agora podemos cancelar o fator comum
no numerador e no denominador (isso é permitido para
; como estamos calculando um limite, consideramos valores de
próximos de
mas diferentes de
, então a cancelamento é válido). Após o cancelamento sobra:
Portanto, para
próximo de
(e
) a expressão original é igual a essa expressão simplificada.
Passo 7
Agora usamos continuidade para avaliar o limite da expressão simplificada. A função
é contínua em
(o interior da raiz em
é
, então não há problema com domínio). Assim podemos substituir
diretamente na expressão simplificada:
Passo 8
Simplificar a fração final: