\lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{3 x-3}-3}{x-4}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a 4 da expressão
\frac{\sqrt{3x-3}-3}{x-4}.
Informações dadas:
  • A expressão envolve a função raiz quadrada \sqrt{3x-3}.
  • O ponto onde o limite deve ser calculado é x\to 4.
O que queremos encontrar: o valor numérico de
\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{3x-3}-3}{x-4}.

Passo 2

Primeiro teste: tentativa de substituição direta para ver se dá um número ou uma indeterminação.
Calcular o numerador e denominador em x=4:
\sqrt{3\cdot4-3}=\sqrt{12-3}=\sqrt{9}=3,
então o numerador fica \sqrt{3\cdot4-3}-3=3-3=0, e o denominador 4-4=0. Logo a forma obtida por substituição direta é
\frac{0}{0},
que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo — é preciso manipular a expressão.

Passo 3

Estratégia de resolução (explicação didática do método escolhido):
  • Quando aparece uma raiz e surge uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, um truque algébrico muito útil é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador (ou do denominador). O conjugado de \sqrt{3x-3}-3 é \sqrt{3x-3}+3.
  • Multiplicar por esse conjugado elimina a raiz do numerador, transformando a diferença de raízes em uma diferença de quadrados, o que normalmente permite simplificar fatores que geram a indeterminação.
  • Evitei usar regras de cálculo mais avançadas (por exemplo, Regra de L’Hôpital) porque o conjugado resolve direto com álgebra elementar — método mais básico e seguro para uma prova sem calculadora.

Passo 4

Aplicar o conjugado: multiplicar numerador e denominador por \sqrt{3x-3}+3. Escrevendo isso:
\frac{\sqrt{3x-3}-3}{x-4}\cdot\frac{\sqrt{3x-3}+3}{\sqrt{3x-3}+3} = \frac{(\sqrt{3x-3}-3)(\sqrt{3x-3}+3)}{(x-4)\bigl(\sqrt{3x-3}+3\bigr)}.
No numerador aplicamos a identidade de produto de conjugados:
(\sqrt{3x-3}-3)(\sqrt{3x-3}+3)=\bigl(\sqrt{3x-3}\bigr)^2-3^2.

Passo 5

Calcular explicitamente o numerador após a identidade:
\bigl(\sqrt{3x-3}\bigr)^2-3^2=(3x-3)-9=3x-12.
Fatorando 3x-12 obtemos
3x-12=3(x-4).
Substituindo isso na fração obtida no Passo 4, temos:
\frac{3(x-4)}{(x-4)\bigl(\sqrt{3x-3}+3\bigr)}.

Passo 6

Agora podemos cancelar o fator comum (x-4) no numerador e no denominador (isso é permitido para x\neq 4; como estamos calculando um limite, consideramos valores de x próximos de 4 mas diferentes de 4, então a cancelamento é válido). Após o cancelamento sobra:
\frac{3}{\sqrt{3x-3}+3}.
Portanto, para x próximo de 4 (e x\neq 4) a expressão original é igual a essa expressão simplificada.

Passo 7

Agora usamos continuidade para avaliar o limite da expressão simplificada. A função g(x)=\sqrt{3x-3}+3 é contínua em x=4 (o interior da raiz em x=4 é 9>0, então não há problema com domínio). Assim podemos substituir x=4 diretamente na expressão simplificada:
\lim_{x\to 4}\frac{3}{\sqrt{3x-3}+3}=\frac{3}{\sqrt{3\cdot4-3}+3}=\frac{3}{\sqrt{9}+3}=\frac{3}{3+3}=\frac{3}{6}.

Passo 8

Simplificar a fração final:
\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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