Passo 1
O enunciado pede avaliar o limite quando
tende para
da expressão
Informações dadas:
- A variável
tende para . - A expressão é a soma de uma potência crescente
e de uma potência decrescente .
Passo 2
Primeira reescrita útil: reconhecer que
Isso mostra que o segundo termo é uma potência com base
, que está entre
e
.
Passo 3
Fato importante sobre exponenciais (explicação didática):
- Se
, então . Intuição: multiplicando por repetidas vezes o valor cresce sem limite. - Se
, então . Intuição: multiplicando por um número menor que repetidas vezes o valor vai ficando cada vez menor, tendendo a zero.
Aqui,e . Logo:
Passo 4
Uma explicação mais rígida (sem pular etapas): para todo
vale
e como
com
quando
, segue que
. Enquanto isso,
cresce sem limite.
Passo 5
Argumento para concluir que a soma diverge para
: dado qualquer número
, como
existe
tal que, para todo
,
Para esses
temos
Isso mostra que a soma ultrapassa arbitrariamente qualquer
quando
é grande o suficiente; por definição isso significa que o limite é
.
Passo 6
Interpretação final e anotação: como o primeiro termo domina (vai para
) e o segundo tende a
, a soma também tende a
.