\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[2^{x}+2^{-x}\right]

Passo 1

O enunciado pede avaliar o limite quando x tende para +\infty da expressão
2^{x}+2^{-x}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A expressão é a soma de uma potência crescente 2^{x} e de uma potência decrescente 2^{-x}.

Passo 2

Primeira reescrita útil: reconhecer que
2^{-x}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}.
Isso mostra que o segundo termo é uma potência com base \tfrac{1}{2}, que está entre 0 e 1.

Passo 3

Fato importante sobre exponenciais (explicação didática):
  • Se a>1, então \lim_{x\to+\infty} a^{x}=+\infty. Intuição: multiplicando por a>1 repetidas vezes o valor cresce sem limite.
  • Se 0<a<1, então \lim_{x\to+\infty} a^{x}=0. Intuição: multiplicando por um número menor que 1 repetidas vezes o valor vai ficando cada vez menor, tendendo a zero.
    Aqui, 2>1 e \tfrac{1}{2}\in(0,1). Logo:
\lim_{x\to+\infty}2^{x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}2^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}=0.

Passo 4

Uma explicação mais rígida (sem pular etapas): para todo x\ge 0 vale
0<2^{-x}\le 1,
e como 2^{-x}=\mathrm{e}^{-x\ln 2} com -x\ln 2\to -\infty quando x\to+\infty, segue que 2^{-x}\to 0. Enquanto isso, 2^{x} cresce sem limite.

Passo 5

Argumento para concluir que a soma diverge para +\infty: dado qualquer número M>0, como \lim_{x\to+\infty}2^{x}=+\infty existe X tal que, para todo x>X,
2^{x}>M.
Para esses x temos
2^{x}+2^{-x}\ge 2^{x}>M.
Isso mostra que a soma ultrapassa arbitrariamente qualquer M>0 quando x é grande o suficiente; por definição isso significa que o limite é +\infty.

Passo 6

Interpretação final e anotação: como o primeiro termo domina (vai para +\infty) e o segundo tende a 0, a soma também tende a +\infty.

Resposta

+\infty

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