\lim _{x \rightarrow 0}(\operatorname{cosh} x)^{1 / x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} (\operatorname{cosh} x)^{1/x^{2}}.
Informações dadas: a expressão é (\operatorname{cosh} x)^{1/x^{2}} e a variável x tende a 0. Não há outros dados necessários.

Passo 2

Estratégia escolhida (motivo): a forma da expressão é do tipo 1^{\infty} quando x\to 0 (pois \operatorname{cosh} 0=1 e 1/x^2\to\infty), então a técnica padrão é tomar logaritmo natural para transformar a potência em um produto e estudar o limite do logaritmo. Depois aplicamos a função exponencial (que é contínua) para recuperar o valor do limite original.

Passo 3

Definimos
y=(\operatorname{cosh} x)^{1/x^{2}}.
Tomando logaritmo natural,
\ln y=\frac{1}{x^{2}}\ln(\operatorname{cosh} x).
Se conseguirmos calcular L=\lim_{x\to 0}\ln y, então o limite pedido será \lim_{x\to 0} y = e^{L}, pois a exponencial é contínua.

Passo 4

Vamos aproximar \operatorname{cosh} x para x pequeno. Lembrando a definição \operatorname{cosh} x=(e^{x}+e^{-x})/2 e desenvolvendo em série de Taylor:
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots,
e^{-x}=1-x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots.
Somando e dividindo por 2 obtém-se a expansão de \operatorname{cosh} x:
\operatorname{cosh} x = 1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots.
Em termos mais sucintos, temos
\operatorname{cosh} x = 1+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}) \quad \text{quando } x\to 0,
ou seja, o termo dominante em pequena ordem é x^{2}/2.

Passo 5

Usamos a expansão anterior dentro do logaritmo. Seja u(x)=\operatorname{cosh} x -1; então u(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}) e u(x)\to 0 quando x\to 0. Logo
\ln(\operatorname{cosh} x)=\ln(1+u(x)).
Conhecemos o limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1. Assim,
\ln(\operatorname{cosh} x)=u(x)+o(u(x))=\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}).
Dividindo por x^{2},
\frac{\ln(\operatorname{cosh} x)}{x^{2}} \to \frac{1}{2}\quad\text{quando }x\to 0.
Portanto
\lim_{x\to 0}\ln y=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}\ln(\operatorname{cosh} x)=\frac{1}{2}.

Passo 6

Voltando para y: como \lim_{x\to 0}\ln y=\tfrac{1}{2} e exponencial é contínua,
\lim_{x\to 0} y = e^{1/2}=\sqrt{e}.

Resposta

\sqrt{e}

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