Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: a expressão é
e a variável
tende a
. Não há outros dados necessários.
Passo 2
Estratégia escolhida (motivo): a forma da expressão é do tipo
quando
(pois
e
), então a técnica padrão é tomar logaritmo natural para transformar a potência em um produto e estudar o limite do logaritmo. Depois aplicamos a função exponencial (que é contínua) para recuperar o valor do limite original.
Passo 3
Definimos
Tomando logaritmo natural,
Se conseguirmos calcular
, então o limite pedido será
, pois a exponencial é contínua.
Passo 4
Vamos aproximar
para
pequeno. Lembrando a definição
e desenvolvendo em série de Taylor:
Somando e dividindo por
obtém-se a expansão de
:
Em termos mais sucintos, temos
ou seja, o termo dominante em pequena ordem é
.
Passo 5
Usamos a expansão anterior dentro do logaritmo. Seja
; então
e
quando
. Logo
Conhecemos o limite padrão
. Assim,
Dividindo por
,
Portanto
Passo 6
Voltando para
: como
e exponencial é contínua,