\lim _{x \rightarrow+\infty} x(\sqrt[x]{a}-1)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to +\infty} x\bigl(\sqrt[x]{a}-1\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão \sqrt[x]{a} é igual a a^{1/x}.
  • A variável que tende ao infinito é x.
  • O parâmetro a aparece dentro da raiz; precisamos considerar para quais valores de a a expressão faz sentido (por exemplo, se a\le 0 há problemas com raízes não inteiras). Aqui vamos assumir a hipótese natural para esse tipo de limite: a>0.
  • Casos especiais que devemos lembrar: a=1 (onde \sqrt[x]{a}=1 para todo x) e a=0 (onde \sqrt[x]{0}=0 e a expressão tende a -\infty). Esses casos serão tratados separadamente depois.

Passo 2

Reescrevemos o limite de forma que apareça a típica forma \dfrac{f(u)-f(0)}{u} que lembra a definição de derivada. Observação básica:
\sqrt[x]{a}=a^{1/x}.
Logo
x\bigl(a^{1/x}-1\bigr)=\frac{a^{1/x}-1}{1/x}.
Agora fazemos a substituição
u=\frac{1}{x},
então quando x\to+\infty temos u\to 0^+. O limite torna-se
\lim_{x\to +\infty} x\bigl(a^{1/x}-1\bigr) =\lim_{u\to 0^+}\frac{a^{u}-1}{u}.

Passo 3

Interpretamos a expressão obtida como a definição do derivada da função f(u)=a^{u} em u=0. Lembrete (definição de derivada):
f'(0)=\lim_{u\to 0}\frac{f(u)-f(0)}{u}.
Aqui f(0)=a^{0}=1, portanto
\lim_{u\to 0}\frac{a^{u}-1}{u}=f'(0).
Logo nosso limite é exatamente f'(0), isto é, a derivada de a^{u} em u=0.

Passo 4

Agora calculamos a derivada de f(u)=a^{u}. Vamos lembrar uma fórmula importante: qualquer exponencial de base positiva pode ser escrita com a exponencial natural:
a^{u}=e^{u\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a. Derivando e^{u\ln a} em relação a u e usando a regra da cadeia, obtemos
\frac{d}{du}a^{u}=\frac{d}{du}e^{u\ln a}=e^{u\ln a}\cdot\ln a=a^{u}\ln a.
Portanto, avaliando em u=0,
f'(0)=a^{0}\ln a=\ln a.

Passo 5

Combinando os passos anteriores temos
\lim_{x\to +\infty} x\bigl(a^{1/x}-1\bigr) =\lim_{u\to 0}\frac{a^{u}-1}{u}=f'(0)=\ln a,
desde que a>0. Vamos checar os casos especiais mencionados no Passo 1:
  • Se a=1, então \sqrt[x]{1}=1 e a expressão é x(1-1)=0 para todo x, logo o limite é 0. Isso coincide com \ln 1=0.
  • Se a=0, então \sqrt[x]{0}=0 e x(0-1)=-x\to -\infty, não é finito; portanto o resultado \ln a não se aplica para a=0.
  • Se a<0, a expressão a^{1/x} não está bem definida para x reais não inteiros em geral, então o limite não é considerado neste contexto real. Por isso assumimos a>0.

Passo 6

Outra forma rápida (intuição-asintótica) de ver o resultado para a>0 é usar a expansão exponencial: escrevemos
a^{1/x}=e^{(\ln a)/x}=1+\frac{\ln a}{x}+o\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),
quando x\to\infty. Multiplicando por x obtemos x(a^{1/x}-1)\to \ln a. Essa é a mesma conclusão, apenas usando a expansão de e^{t} para t pequeno.

Resposta

\ln a (para a>0)

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