Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão
é igual a . - A variável que tende ao infinito é
. - O parâmetro
aparece dentro da raiz; precisamos considerar para quais valores de a expressão faz sentido (por exemplo, se há problemas com raízes não inteiras). Aqui vamos assumir a hipótese natural para esse tipo de limite: . - Casos especiais que devemos lembrar:
(onde para todo ) e (onde e a expressão tende a ). Esses casos serão tratados separadamente depois.
Passo 2
Reescrevemos o limite de forma que apareça a típica forma
que lembra a definição de derivada. Observação básica:
Logo
Agora fazemos a substituição
então quando
temos
. O limite torna-se
Passo 3
Interpretamos a expressão obtida como a definição do derivada da função
em
. Lembrete (definição de derivada):
Aqui
, portanto
Logo nosso limite é exatamente
, isto é, a derivada de
em
.
Passo 4
Agora calculamos a derivada de
. Vamos lembrar uma fórmula importante: qualquer exponencial de base positiva pode ser escrita com a exponencial natural:
onde
é o logaritmo natural de
. Derivando
em relação a
e usando a regra da cadeia, obtemos
Portanto, avaliando em
,
Passo 5
Combinando os passos anteriores temos
desde que
. Vamos checar os casos especiais mencionados no Passo 1:
- Se
, então e a expressão é para todo , logo o limite é . Isso coincide com . - Se
, então e , não é finito; portanto o resultado não se aplica para . - Se
, a expressão não está bem definida para reais não inteiros em geral, então o limite não é considerado neste contexto real. Por isso assumimos .
Passo 6
Outra forma rápida (intuição-asintótica) de ver o resultado para
é usar a expansão exponencial: escrevemos
quando
. Multiplicando por
obtemos
. Essa é a mesma conclusão, apenas usando a expansão de
para
pequeno.