\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(1-\cos x)}{\operatorname{tg}^{3} x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{x\bigl(1-\cos x\bigr)}{\operatorname{tg}^{3}x}.
Vamos usar séries de Taylor ao redor de x=0 para aproximar \cos x e \operatorname{tg} x e, assim, calcular o limite.

Passo 2

Expandimos \cos x em Taylor até ordem x^4:
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6).
Logo,
1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6).
Multiplicando por x, o numerador vira
x\bigl(1-\cos x\bigr) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + O(x^7).

Passo 3

Expandimos \operatorname{tg} x em Taylor até ordem x^3:
\operatorname{tg} x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5).
Elevando ao cubo,
\operatorname{tg}^{3}x = \bigl(x + \tfrac{x^3}{3} + O(x^5)\bigr)^{3} = x^3\Bigl(1 + \tfrac{x^2}{3}\Bigr)^{3} + O(x^7) = x^3\bigl(1 + x^2 + O(x^4)\bigr).

Passo 4

Substituindo as aproximações no quociente,
\frac{x(1-\cos x)}{\operatorname{tg}^{3}x} = \frac{\frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + O(x^7)}{x^3\bigl(1 + x^2 + O(x^4)\bigr)} = \frac{\frac12 - \frac{x^2}{24} + O(x^4)}{1 + x^2 + O(x^4)}.

Passo 5

Ao fazer x\to0, os termos em x^2 e superiores somem, sobrando
\lim_{x\to0}\frac{x(1-\cos x)}{\operatorname{tg}^{3}x} = \frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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