\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{x^{2}+9}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x^{2}+9}.
O conteúdo envolve limites de funções e a propriedade de continuidade de funções elementares.

Passo 2

Observamos que tanto o numerador \cos x quanto o denominador x^{2}+9 são funções contínuas em x=0 e que o denominador não se anula nesse ponto. Assim, podemos usar a substituição direta.

Passo 3

Avaliaremos o numerador em x=0:
\cos(0) = 1.

Passo 4

Avaliaremos o denominador em x=0:
0^{2} + 9 = 9.

Passo 5

Como o limite de uma razão de funções contínuas (com denominador não nulo) é a razão dos limites, temos
\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x^{2}+9} = \frac{1}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{9}

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