\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{\operatorname{sen}(4 x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen}(4x)}.
O conteúdo principal é limite de funções trigonométricas em zero e vamos usar o limite fundamental
\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de modo a usar o limite fundamental. Note que
\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen}(4x)} =\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}\;\frac{4x}{\operatorname{sen}(4x)}\;\frac{3x}{4x}.
Aqui separamos em três fatores de modo que possamos aplicar
\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.

Passo 3

Aplicando o limite em cada fator:
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}=1, \qquad \lim_{x\to0}\frac{4x}{\operatorname{sen}(4x)}=1, \qquad \lim_{x\to0}\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}.

Passo 4

Como o limite do produto é o produto dos limites (todos finitos), temos
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen}(4x)} =1\cdot1\cdot\frac{3}{4} =\frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle\frac{3}{4}

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