\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\operatorname{sen} x}{1-\cos x}

Passo 1

Beleza, o enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{1-\cos x}.
O conteúdo aqui é limites com indeterminação do tipo 0/0 e vamos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Ao substituir x=0, temos
\frac{x-\sin x}{1-\cos x}\Big|_{x=0}=\frac{0-0}{1-1}=\frac{0}{0},
então há uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Aplicamos L’Hôpital derivando numerador e denominador:
\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{1-\cos x} = \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin x}.
Substituindo x=0 de novo:
\frac{1-\cos x}{\sin x}\Big|_{x=0}=\frac{0}{0},
continua 0/0.

Passo 4

Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez:
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin x} = \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{x\to0}\tan x.

Passo 5

Como \tan x\to0 quando x\to0, concluímos
\lim_{x\to0}\tan x=0.

Resposta

0

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