\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\operatorname{sen} x-\cos x}{\tan x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{1+\operatorname{sen} x-\cos x}{\tan x}\,,
que é um caso de limite do tipo 0/0. Vamos usar séries de Taylor em torno de x=0 para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada em x=0: \sen0=0, \cos0=1 e \tan0=0, logo
\frac{1+0-1}{0}=\frac{0}{0}\;.

Passo 3

Aplicamos as expansões de Taylor até a ordem x^3:
\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5),\quad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4),\quad \tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5).

Passo 4

Substituímos essas séries no numerador e no denominador:
\text{Numerador} = 1 + \bigl(x - \tfrac{x^3}{6}\bigr) - \bigl(1 - \tfrac{x^2}{2}\bigr) = x + \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{6} + O(x^4),
\text{Denominador} = x + \tfrac{x^3}{3} + O(x^5).

Passo 5

Fatoramos x e simplificamos:
\frac{1+\operatorname{sen} x-\cos x}{\tan x} = \frac{x\bigl(1+\tfrac{x}{2}-\tfrac{x^2}{6}+O(x^3)\bigr)}{x\bigl(1+\tfrac{x^2}{3}+O(x^4)\bigr)} = \frac{1+\tfrac{x}{2}-\tfrac{x^2}{6}+O(x^3)}{1+\tfrac{x^2}{3}+O(x^4)}.

Passo 6

Tomando x\to0, os termos de ordem superior desaparecem, restando
\lim_{x\to0}\frac{1+\operatorname{sen} x-\cos x}{\tan x} = 1.

Resposta

1

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