O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{1-\cos x}.
O conteúdo é limites de funções trigonométricas com forma indeterminada \tfrac{0}{0}; vamos usar a regra de l’Hôpital, que exige derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.
Passo 2
Verificamos a indeterminação por substituição direta:
logo temos \tfrac{0}{0}, condição para aplicar l’Hôpital.
Passo 3
Aplicando l’Hôpital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
derivada de x-\sin x é 1-\cos x,
derivada de 1-\cos x é \sin x.
O limite vira
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin x}.
Passo 4
Ainda é indeterminação \tfrac{0}{0}, então aplicamos l’Hôpital outra vez.
Derivada de 1-\cos x é \sin x,
derivada de \sin x é \cos x.
Assim o limite passa a ser