\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\operatorname{sen} x}{1-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{1-\cos x}.
O conteúdo é limites de funções trigonométricas com forma indeterminada \tfrac{0}{0}; vamos usar a regra de l’Hôpital, que exige derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Verificamos a indeterminação por substituição direta:
x-\sin x\bigl|_{x=0}=0-0=0, \quad 1-\cos x\bigl|_{x=0}=1-1=0,
logo temos \tfrac{0}{0}, condição para aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Aplicando l’Hôpital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
derivada de x-\sin x é 1-\cos x,
derivada de 1-\cos x é \sin x.
O limite vira
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin x}.

Passo 4

Ainda é indeterminação \tfrac{0}{0}, então aplicamos l’Hôpital outra vez.
Derivada de 1-\cos x é \sin x,
derivada de \sin x é \cos x.
Assim o limite passa a ser
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{\cos x}=\lim_{x\to0}\tan x.

Passo 5

Sabemos que \tan x\to0 quando x\to0. Portanto o valor do limite original é 0.

Resposta

0

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