\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x-\operatorname{sen} x}{x \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0^{+}}\frac{x-\operatorname{sen} x}{x\,\operatorname{sen} x}.
Esse é um problema de limites envolvendo funções elementares; podemos usar a expansão de Taylor de \operatorname{sen} x em torno de x=0 para simplificar o quociente.

Passo 2

A expansão de Taylor de \operatorname{sen} x até a ordem x^3 é
\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).

Passo 3

Substituindo essa expansão no numerador e no denominador, temos
x - \operatorname{sen} x = x - \Bigl(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\Bigr) = \frac{x^3}{6} + O(x^5),
x\,\operatorname{sen} x = x\Bigl(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\Bigr) = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6).
Logo, o quociente vira
\frac{x-\operatorname{sen} x}{x\,\operatorname{sen} x} = \frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)} = \frac{x^3/6}{x^2}\,\frac{1 + O(x^2)}{1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)} = \frac{x}{6}\,\bigl(1 + O(x^2)\bigr).

Passo 4

Quando x\to0^{+}, o termo \frac{x}{6}\to0 e \bigl(1+O(x^2)\bigr)\to1. Portanto
\lim_{x\to0^{+}}\frac{x-\operatorname{sen} x}{x\,\operatorname{sen} x} = 0.

Resposta

0

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