Utilize as propriedades apresentadas para o cálculo de limites e determine:
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{3}+27}{x^{2}-9}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -3}\frac{x^{3}+27}{x^{2}-9}
Esse é um caso de forma indeterminada 0/0 em funções racionais, então vamos precisar usar fatoração para simplificar a expressão antes de eliminar a indeterminação.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=-3:
x^{3}+27 = (-3)^{3}+27 = -27+27 = 0,
x^{2}-9 = (-3)^{2}-9 = 9-9 = 0.
Como dá 0/0, é indeterminado e precisamos fatorar.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador usando soma de cubos e diferença de quadrados:
x^{3}+27 = (x+3)(x^{2}-3x+9)
x^{2}-9 = (x-3)(x+3)

Passo 4

Podemos cancelar o fator comum (x+3) para x\neq -3, obtendo a forma simplificada
\frac{x^{3}+27}{x^{2}-9} =\frac{(x+3)(x^{2}-3x+9)}{(x+3)(x-3)} =\frac{x^{2}-3x+9}{x-3}.

Passo 5

Agora substituímos x=-3 na expressão simplificada:
x^{2}-3x+9 = (-3)^{2}-3(-3)+9 = 9+9+9 = 27,
x-3 = -3-3 = -6.
Logo o limite vale
\frac{27}{-6} = -\frac{9}{2}.

Resposta

-\frac{9}{2}

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