Existe \lim _{x \rightarrow 2} f(x), dado que \frac{|x-2|}{3(x-2)} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para analisar se existe
\lim_{x\to 2}f(x)
quando
f(x)=\frac{\lvert x-2\rvert}{3(x-2)}.
O conteúdo principal é limite de função com valor absoluto. Para resolver, vamos usar a definição de valor absoluto em forma piecewise e calcular os limites laterais.

Passo 2

Reescrevemos \lvert x-2\rvert\) de maneira piecewise: \[\lvert x-2\rvert=\begin{cases} x-2, & x\ge 2,\\\\ -(x-2), & x<2. \end{cases}
Logo, para (x\neq 2],
f(x)=\frac{\lvert x-2\rvert}{3(x-2)} =\begin{cases} \dfrac{x-2}{3(x-2)}, & x>2,\\[1em] \dfrac{-(x-2)}{3(x-2)}, & x<2. \end{cases}]

Passo 3

Para x>2 podemos simplificar
f(x)=\frac{x-2}{3(x-2)}=\frac{1}{3}.
Assim,
\lim_{x\to2^+}f(x)=\frac{1}{3}.

Passo 4

Para x<2 obtemos
f(x)=\frac{-(x-2)}{3(x-2)}=-\frac{1}{3}.
Portanto,
\lim_{x\to2^-}f(x)=-\frac{1}{3}.

Passo 5

Como \lim_{x\to2^+}f(x)=\tfrac{1}{3}
e \lim_{x\to2^-}f(x)=-\tfrac{1}{3},
os dois limites laterais são diferentes. Logo, o limite geral não existe.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{x\to2}f(x) não existe, pois os limites laterais são diferentes.

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