O enunciado pede \lim_{x\to2}\frac{x\sqrt{x}-\sqrt{2}}{3x-4}. Isso é um problema de limites de funções envolvendo raízes e polinômios, onde podemos aplicar a continuidade sempre que o denominador não for zero no ponto de interesse.
Passo 2
Definimos a função
f(x)=\frac{x\sqrt{x}-\sqrt{2}}{3x-4}.
Como queremos \lim_{x\to2}f(x), verificamos 3\cdot2-4=2\neq0. Logo o denominador não anula em x=2 e f é contínua nesse ponto. Portanto
\lim_{x\to2}f(x)=f(2).
Passo 3
Para calcular f(2), escrevemos primeiro x\sqrt{x}=x^{3/2}. Assim,