\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x \sqrt{x}-\sqrt{2}}{3 x-4}.

Passo 1

O enunciado pede \lim_{x\to2}\frac{x\sqrt{x}-\sqrt{2}}{3x-4}. Isso é um problema de limites de funções envolvendo raízes e polinômios, onde podemos aplicar a continuidade sempre que o denominador não for zero no ponto de interesse.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{x\sqrt{x}-\sqrt{2}}{3x-4}.
Como queremos \lim_{x\to2}f(x), verificamos 3\cdot2-4=2\neq0. Logo o denominador não anula em x=2 e f é contínua nesse ponto. Portanto
\lim_{x\to2}f(x)=f(2).

Passo 3

Para calcular f(2), escrevemos primeiro x\sqrt{x}=x^{3/2}. Assim,
x\sqrt{x}\Big|_{x=2}=2^{3/2}=2\sqrt{2},
e o numerador em x=2 fica
2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}.
O denominador vale
3\cdot2-4=6-4=2.
Logo
f(2)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}

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