\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3 x-2}}

Passo 1

O problema pede o valor do limite quando x tende a 2 da expressão
\frac{x^{2}-4}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}.
Informações dadas:
  • A variável é x.
  • O ponto de interesse é x \to 2.
  • A expressão é uma fração cujo numerador é x^{2}-4 e o denominador é \sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}.

Passo 2

Primeiro teste: tentar a substituição direta x=2 para ver o tipo de forma indeterminada.
x^{2}-4\Big|_{x=2}=2^{2}-4=4-4=0, \qquad \sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}\Big|_{x=2}=\sqrt{4}-\sqrt{4}=2-2=0.
Portanto temos a forma \dfrac{0}{0}, que é indeterminada. Isso indica que é preciso manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite.

Passo 3

Técnica escolhida: racionalizar o denominador usando o conjugado. Explico por que: quando aparece diferença de raízes no denominador, multiplicar numerador e denominador pelo conjugado (a soma das mesmas raízes) transforma o denominador numa diferença de quadrados sem raízes, que geralmente simplifica e permite cancelar fatores comuns. Isso evita usar derivadas (Regra de L’Hôpital) e é direto aqui.

Passo 4

Multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}:
\frac{x^{2}-4}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}} \cdot \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}} = \frac{(x^{2}-4)\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}\bigr)} {(\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2})(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}.

Passo 5

O denominador passa a ser diferença de quadrados sem raízes:
(\sqrt{x+2})^{2}-(\sqrt{3x-2})^{2}=(x+2)-(3x-2).
Calculando essa diferença:
(x+2)-(3x-2)=x+2-3x+2=-2x+4=-2(x-2).
No numerador, fatoramos x^{2}-4 (diferença de quadrados):
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Assim a fração fica
\frac{(x-2)(x+2)\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}\bigr)}{-2(x-2)}.

Passo 6

Agora podemos cancelar o fator comum (x-2) no numerador e denominador. Justificativa: no cálculo do limite consideramos valores de x próximos de 2 mas diferentes de 2, então para esses x não estamos dividindo por zero ao cancelar. Após cancelar obtemos uma expressão equivalente para x\neq2:
\frac{(x+2)\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}\bigr)}{-2}.

Passo 7

A expressão simplificada é contínua em x=2, portanto podemos avaliar o limite substituindo x=2:
Calcule as partes:
x+2\Big|_{x=2}=4, \qquad \sqrt{x+2}\Big|_{x=2}=2, \qquad \sqrt{3x-2}\Big|_{x=2}=2.
Logo
\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}\bigr)\Big|_{x=2}=2+2=4.
Substituindo na expressão,
\frac{(x+2)\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}\bigr)}{-2}\Bigg|_{x=2} = \frac{4\cdot 4}{-2}=\frac{16}{-2}=-8.

Passo 8

Comentário final rápido: poder-se-ia também aplicar a Regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador) porque havia forma 0/0, e obter-se-ia o mesmo resultado; porém a racionalização é mais direta e não exige derivadas. Bom trabalho — já era!

Resposta

-8

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