A expressão a ser avaliada é \dfrac{3-\sqrt{10-x}}{x^{2}-1}.
Se fizermos substituição direta em x=1 obtemos no numerador 3-\sqrt{9}=0 e no denominador 1^{2}-1=0. Logo a forma é a indeterminada \tfrac{0}{0}.
O objetivo é eliminar a indeterminação e encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 1.
Passo 2
Conceito rápido (sem jargões): quando um limite dá a forma \tfrac{0}{0} isso significa que precisamos manipular a expressão para simplificá-la antes de substituir x\to1. Uma técnica clássica e simples é usar o conjugado quando aparece uma raiz no numerador (ou denominador). Vou aplicar essa técnica aqui por ser direta e sem necessidade de derivadas.
Passo 3
Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é 3+\sqrt{10-x}. Assim escrevemos a expressão como
Cancelar o fator comum (x-1). Observação importante: a cancelamento é válido para x\neq 1; para o cálculo do limite consideramos valores de x próximos de 1 mas diferentes de 1, então essa simplificação preserva o limite. Após cancelar obtemos a expressão simplificada
\frac{1}{(x+1)(3+\sqrt{10-x})},\qquad x\neq 1.
Passo 7
Agora a expressão simplificada é contínua em x=1, então podemos avaliar o limite por substituição direta. Calcular os termos no denominador em x=1:
(Dica rápida para a prova) Se preferir, poderia também aplicar a regra de L’Hôpital porque a forma é \tfrac{0}{0}. Derivando numerador e denominador e avaliando em x=1 dá o mesmo resultado \tfrac{1}{12}. Isso serve como verificação quando souber derivar raízes rapidamente.