(1 pt.) Determine (dê o domínio, o contradomínio e a lei de composição), se possível (se não for, explique):
, se
e
;
Passo 1
O enunciado dá duas funções:
-
. -
.
O que se pede: determinar
, ou seja, dar (quando possível)
- o domínio de
, - o contradomínio de
, - a lei de composição
.
Se a composição não for possível, devo explicar por que não é possível.
Passo 2
Definir claramente o domínio natural de cada função (isto é, os
reais para os quais a expressão faz sentido).
Para
: trata-se de um polinômio em
. Polinômios estão definidos para todo número real, logo o domínio natural de
é
Explicação curta: para qualquer
pode-se calcular
e depois
.
Passo 3
Para
devemos exigir duas coisas simultâneas sobre
:
-
esteja definido em , isto é, precisamos de . - O denominador não seja zero, ou seja,
⇔ .
Combinando as duas condições, obtemos
Explicação curta:
só aceita argumentos estritamente positivos.
Passo 4
Lembrar a definição de domínio da composição. Por definição,
Isto significa: pegamos os
que
aceita e exigimos ainda que
seja um número para o qual
está definido.
Passo 5
Calcular a imagem de
(o conjunto de valores que
produz), porque precisamos ver se algum desses valores pertence a
.
Para todo
vale
. Então
Logo
é sempre um número não positivo; mais precisamente:
Justificativa de surjetividade sobre
: dado
, escolhe-se
ou
para obter
. Em particular
atinge
(quando
) e valores negativos (quando
).
Passo 6
Agora intersectamos a imagem de
com o domínio de
:
Ou seja, não existe
tal que
seja estritamente positivo. Portanto não há nenhum
que satisfaça a condição necessária para que
seja calculável como número real.
Passo 7
Consequência: a composição
não fornece nenhum valor real — não existe
com
bem definido. Em linguagem precisa:
-
(conjunto vazio). - Como não há pontos no domínio, não existe uma lei de composição efetiva que produza valores reais em nenhum
.
Observação técnica (opcional): formalmente existe a função vazia
, mas ela não fornece expressão numérica avaliada em algum
. Se alguém escrever simbolicamente
essa expressão é sempre indefinida no conjunto dos reais — portanto não representa uma função com algum ponto de domínio real.
Resposta
Dom
.
Contradomínio natural (se for escolhido igual ao de ):
.
Lei de composição: não há valores reais; a expressão formal é indefinida para todo
, logo a composição não é definida em nenhum ponto real.
Contradomínio natural (se for escolhido igual ao de
Lei de composição: não há valores reais; a expressão formal