(1 pt.) Determine (dê o domínio, o contradomínio e a lei de composição), se possível (se não for, explique):
g \circ f, se f(x)=-x^{2} e g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}};

Passo 1

O enunciado dá duas funções:
  • f(x) = -x^{2}.
  • g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}.
O que se pede: determinar g\circ f, ou seja, dar (quando possível)
  • o domínio de g\circ f,
  • o contradomínio de g\circ f,
  • a lei de composição (g\circ f)(x).
Se a composição não for possível, devo explicar por que não é possível.

Passo 2

Definir claramente o domínio natural de cada função (isto é, os x reais para os quais a expressão faz sentido).
Para f(x)=-x^{2}: trata-se de um polinômio em x. Polinômios estão definidos para todo número real, logo o domínio natural de f é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
Explicação curta: para qualquer x\in\mathbb{R} pode-se calcular x^{2} e depois -x^{2}.

Passo 3

Para g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}} devemos exigir duas coisas simultâneas sobre x:
  1. \sqrt{x} esteja definido em \mathbb{R}, isto é, precisamos de x\ge 0.
  2. O denominador não seja zero, ou seja, \sqrt{x}\neq 0 x\neq 0.
Combinando as duas condições, obtemos
\text{Dom}(g)=(0,\infty).
Explicação curta: g só aceita argumentos estritamente positivos.

Passo 4

Lembrar a definição de domínio da composição. Por definição,
\text{Dom}(g\circ f)=\{\,x\in\text{Dom}(f)\mid f(x)\in\text{Dom}(g)\,\}.
Isto significa: pegamos os x que f aceita e exigimos ainda que f(x) seja um número para o qual g está definido.

Passo 5

Calcular a imagem de f (o conjunto de valores que f produz), porque precisamos ver se algum desses valores pertence a \text{Dom}(g)=(0,\infty).
Para todo x\in\mathbb{R} vale x^{2}\ge 0. Então
f(x)=-x^{2}\le 0.
Logo f(x) é sempre um número não positivo; mais precisamente:
f(\mathbb{R})=(-\infty,0].
Justificativa de surjetividade sobre (-\infty,0]: dado y\le 0, escolhe-se x=\sqrt{-y} ou x=-\sqrt{-y} para obter f(x)=y. Em particular f atinge 0 (quando x=0) e valores negativos (quando x\neq 0).

Passo 6

Agora intersectamos a imagem de f com o domínio de g:
f(\mathbb{R})\cap\text{Dom}(g)=(-\infty,0]\cap(0,\infty)=\varnothing.
Ou seja, não existe x\in\mathbb{R} tal que f(x) seja estritamente positivo. Portanto não há nenhum x que satisfaça a condição necessária para que g(f(x)) seja calculável como número real.

Passo 7

Consequência: a composição g\circ f não fornece nenhum valor real — não existe x\in\mathbb{R} com (g\circ f)(x) bem definido. Em linguagem precisa:
  • \text{Dom}(g\circ f)=\varnothing (conjunto vazio).
  • Como não há pontos no domínio, não existe uma lei de composição efetiva que produza valores reais em nenhum x\in\mathbb{R}.
Observação técnica (opcional): formalmente existe a função vazia \varnothing\to(0,\infty), mas ela não fornece expressão numérica avaliada em algum x. Se alguém escrever simbolicamente
(g\circ f)(x)=\frac{1}{\sqrt{-x^{2}}},
essa expressão é sempre indefinida no conjunto dos reais — portanto não representa uma função com algum ponto de domínio real.

Resposta

Dom (g\circ f)=\varnothing.
Contradomínio natural (se for escolhido igual ao de g): (0,\infty).
Lei de composição: não há valores reais; a expressão formal (g\circ f)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{-x^{2}}} é indefinida para todo x\in\mathbb{R}, logo a composição não é definida em nenhum ponto real.

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