1. \lim _{x \rightarrow 5^{5}} \frac{x+1}{x-5}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a 5^{5} da função \dfrac{x+1}{x-5}. As informações dadas são:
  • A expressão cuja limite se quer é \dfrac{x+1}{x-5}.
  • O ponto de aproximação é x \to 5^{5}.
O que se pede: calcular \displaystyle \lim_{x \to 5^{5}} \dfrac{x+1}{x-5}.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática): se uma função é contínua num ponto a, então o limite quando x\to a é simplesmente o valor da função em a. No caso de uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)}, onde p e q são polinômios, ela é contínua em todo ponto onde q(x)\neq 0. Portanto, antes de “substituir” x=a, devo verificar se o denominador não se anula em a. Se o denominador for não nulo, posso calcular o limite apenas substituindo.

Passo 3

Calcular o valor de 5^{5} passo a passo:
5^{2}=25,
5^{3}=5^{2}\cdot5=25\cdot5=125,
5^{4}=125\cdot5=625,
5^{5}=625\cdot5=3125.
Portanto o ponto de aproximação é x\to 3125.
Agora verificar o denominador em x=3125:
3125-5=3120\neq 0.
Como o denominador é diferente de zero em x=3125, a função é contínua nesse ponto e podemos obter o limite por substituição.

Passo 4

Substituir x=3125 em \dfrac{x+1}{x-5}:
\frac{3125+1}{3125-5}=\frac{3126}{3120}.
Agora simplificar a fração. Calcular o máximo divisor comum simples: ambos são divisíveis por 2 e por 3; verificar divisão por 6:
3126\div6=521,\qquad 3120\div6=520.
Logo
\frac{3126}{3120}=\frac{521}{520}.
Como verificação numérica, em decimal isso é aproximadamente 1,001923\ldots.

Resposta

\dfrac{521}{520}

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