\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\operatorname{cosh} x-1}{x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{cosh} x - 1}{x}.
Informações dadas: a expressão envolve a função hiperbolic cosine \operatorname{cosh} x e a variável x tende a +\infty. Não há mais dados no enunciado.

Passo 2

Definição e ideia básica que vamos usar. A função cosseno hiperbólico é definida por
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Aqui e^{x} é a função exponencial usual. A ideia é comparar o crescimento de \operatorname{cosh} x com o de e^{x} quando x\to\infty: para grandes x, a contribuição de e^{-x} é muito pequena, e \operatorname{cosh} x cresce essencialmente como \tfrac{e^{x}}{2}.

Passo 3

Reescrevo o numerador usando a definição:
\operatorname{cosh} x - 1 = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}-1 = \frac{e^{x}+e^{-x}-2}{2}.
Como e^{-x}>0 para todo x, temos e^{x}+e^{-x}\ge e^{x}. Portanto
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \ge \frac{e^{x}}{2}.
Subtraindo 1 dos dois lados obtemos a desigualdade útil
\operatorname{cosh} x - 1 \ge \frac{e^{x}}{2}-1.

Passo 4

A desigualdade do passo anterior dá um limite inferior para a nossa razão:
\frac{\operatorname{cosh} x - 1}{x} \ge \frac{\tfrac{e^{x}}{2}-1}{x}.
Se conseguirmos mostrar que o lado direito tende a +\infty quando x\to\infty, então a razão original também tende a +\infty.

Passo 5

Calculo o limite do lado direito. Considere
\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac{e^{x}}{2}-1}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}/2}{x},
pois o termo constante -1 é irrelevante diante do crescimento exponencial. Aplicando a regra de l’Hôpital (porque numerador e denominador tendem a +\infty), derivamos numerador e denominador:
derivada do numerador e^{x}/2 é e^{x}/2, derivada do denominador x é 1. Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}/2}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{2} = +\infty.
Portanto o lado direito diverge para +\infty.

Passo 6

Como \dfrac{\operatorname{cosh} x - 1}{x} é maior ou igual a uma função que tende a +\infty, concluímos que
\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{cosh} x - 1}{x} = +\infty.

Passo 7

(Método alternativo — rápido) Poderíamos também aplicar l’Hôpital diretamente na expressão original: tanto \operatorname{cosh} x -1 quanto x tendem a +\infty. Derivando numerador e denominador obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{cosh} x - 1}{x} = \lim_{x\to\infty}\operatorname{sinh} x,
e como \operatorname{sinh} x = \tfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\to +\infty quando x\to\infty, o resultado é o mesmo.

Resposta

+\infty

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