Passo 1
O que o problema pede: calcular o valor do limite
Informações dadas: a expressão envolve a função hiperbolic cosine
e a variável
tende a
. Não há mais dados no enunciado.
Passo 2
Definição e ideia básica que vamos usar. A função cosseno hiperbólico é definida por
Aqui
é a função exponencial usual. A ideia é comparar o crescimento de
com o de
quando
: para grandes
, a contribuição de
é muito pequena, e
cresce essencialmente como
.
Passo 3
Reescrevo o numerador usando a definição:
Como
para todo
, temos
. Portanto
Subtraindo
dos dois lados obtemos a desigualdade útil
Passo 4
A desigualdade do passo anterior dá um limite inferior para a nossa razão:
Se conseguirmos mostrar que o lado direito tende a
quando
, então a razão original também tende a
.
Passo 5
Calculo o limite do lado direito. Considere
pois o termo constante
é irrelevante diante do crescimento exponencial. Aplicando a regra de l’Hôpital (porque numerador e denominador tendem a
), derivamos numerador e denominador:
derivada do numerador é
, derivada do denominador
é
. Assim
derivada do numerador
Portanto o lado direito diverge para
.
Passo 6
Como
é maior ou igual a uma função que tende a
, concluímos que
Passo 7
(Método alternativo — rápido) Poderíamos também aplicar l’Hôpital diretamente na expressão original: tanto
quanto
tendem a
. Derivando numerador e denominador obtemos
e como
quando
, o resultado é o mesmo.