\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\tan x}{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\tan x}{x}.
Informações dadas (relevantes): a função considerada é x\mapsto \tan x dividida por x; sabemos que x tende para +\infty. Não há outras hipóteses adicionais no enunciado.

Passo 2

Entendendo a função \tan x — propriedades básicas que vamos usar (a explicação é para você entender como raciocinar na prova):
  • A tangente tem período \pi, ou seja \tan(x+\pi)=\tan x.
  • \tan x tem zeros em
x=k\pi\quad\text{para }k\in\mathbb{Z},
pois \tan(k\pi)=0.
  • \tan x tem assíntotas verticais (pontos onde explode para \pm\infty) em
x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\text{para }k\in\mathbb{Z}.
Isso significa que, ao nos aproximarmos de um desses pontos pela esquerda ou pela direita, o valor de \tan x cresce em módulo sem limite.

Passo 3

Comportamento de \tan x próximo a uma assíntota — ideia chave (a prova do comportamento usa aproximações de seno e cosseno para pequenos ângulos):
Sejam x_k=\frac{\pi}{2}+k\pi uma assíntota e escrevamos x=x_k+h com h pequeno. Usando a identidade \tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+h\bigr)=-\cot h e a aproximação para h pequeno
\sin h \sim h,\qquad \cos h\sim 1,
temos
\cot h=\frac{\cos h}{\sin h}\sim\frac{1}{h}.
Portanto, para h pequeno
\tan(x_k+h)=\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi+h\bigr)=-\cot h\approx -\frac{1}{h}.
Isto quer dizer que, escolhendo x muito próximo de uma assíntota (ou seja h muito pequeno), \tan x pode ser arbitrariamente grande em módulo, com sinal que depende de h (à esquerda ou à direita da assíntota).

Passo 4

Construindo subsequências para testar o limite — ideia geral: se a função tem comportamentos diferentes ao longo de diferentes sequências que tendem a +\infty, o limite global não existe.
  • Primeiro subsequência (leva o quociente a 0):
    escolha
    x_n = n\pi\quad\text{para }n=1,2,3,\dots
    Note que x_n\to\infty quando n\to\infty e \tan x_n=\tan(n\pi)=0. Logo
    \frac{\tan x_n}{x_n}=\frac{0}{x_n}=0\quad\text{para todo }n,
    portanto, ao longo dessa subsequência o quociente tende para 0.
  • Segunda subsequência (faz o quociente divergir para -\infty; dá para construir também para +\infty):
    escolha o ponto da assíntota com índice n,
    x_n = \frac{\pi}{2}+n\pi + \frac{1}{n^2}.
    Aqui x_n\to\infty quando n\to\infty. Escrevendo x_n=x_{k}+h com x_k=\frac{\pi}{2}+n\pi e h=\frac{1}{n^2} (pequeno), pela aproximação do passo anterior
    \tan x_n \approx -\frac{1}{h} = -n^2.
    Assim
    \frac{\tan x_n}{x_n} \approx \frac{-n^2}{x_n}.
    Como x_n é da ordem de n (mais precisamente x_n\sim n\pi), temos aproximadamente
    \frac{\tan x_n}{x_n}\sim \frac{-n^2}{n\pi}=-\frac{n}{\pi},
    que tende para -\infty quando n\to\infty. Logo existe uma subsequência onde o quociente diverge para -\infty. (Se você preferir, basta escolher h=\frac{1}{n^3} para fazer o quociente divergir ainda mais rápido; a ideia é que \tan cresce como 1/h enquanto x_n cresce só linearmente em n.)

Passo 5

Conclusão lógica: encontramos uma subsequência (x_n) com x_n\to\infty tal que \dfrac{\tan x_n}{x_n}\to 0 e outra subsequência (também com x_n\to\infty) tal que \dfrac{\tan x_n}{x_n}\to -\infty. Como duas subsequências de x\to\infty levam o quociente a limites distintos (um finito e outro divergente), o limite global
\lim_{x\to\infty}\frac{\tan x}{x}
não pode existir (não existe limite finito nem limite igual a +\infty ou -\infty).

Resposta

Não existe limite.

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