Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas (relevantes): a função considerada é
dividida por
; sabemos que
tende para
. Não há outras hipóteses adicionais no enunciado.
Passo 2
Entendendo a função
— propriedades básicas que vamos usar (a explicação é para você entender como raciocinar na prova):
- A tangente tem período
, ou seja . -
tem zeros em
pois
.
-
tem assíntotas verticais (pontos onde explode para ) em
Isso significa que, ao nos aproximarmos de um desses pontos pela esquerda ou pela direita, o valor de
cresce em módulo sem limite.
Passo 3
Comportamento de
próximo a uma assíntota — ideia chave (a prova do comportamento usa aproximações de seno e cosseno para pequenos ângulos):
Sejam uma assíntota e escrevamos
com
pequeno. Usando a identidade
e a aproximação para
pequeno
Sejam
temos
Portanto, para
pequeno
Isto quer dizer que, escolhendo
muito próximo de uma assíntota (ou seja
muito pequeno),
pode ser arbitrariamente grande em módulo, com sinal que depende de
(à esquerda ou à direita da assíntota).
Passo 4
Construindo subsequências para testar o limite — ideia geral: se a função tem comportamentos diferentes ao longo de diferentes sequências que tendem a
, o limite global não existe.
-
Primeiro subsequência (leva o quociente a
):
escolhaNote quequando e . Logo portanto, ao longo dessa subsequência o quociente tende para. -
Segunda subsequência (faz o quociente divergir para
; dá para construir também para ):
escolha o ponto da assíntota com índice, Aquiquando . Escrevendo com e (pequeno), pela aproximação do passo anterior AssimComoé da ordem de (mais precisamente ), temos aproximadamente que tende paraquando . Logo existe uma subsequência onde o quociente diverge para . (Se você preferir, basta escolher para fazer o quociente divergir ainda mais rápido; a ideia é que cresce como enquanto cresce só linearmente em .)
Passo 5
Conclusão lógica: encontramos uma subsequência
com
tal que
e outra subsequência (também com
) tal que
. Como duas subsequências de
levam o quociente a limites distintos (um finito e outro divergente), o limite global
não pode existir (não existe limite finito nem limite igual a
ou
).
Resposta
Não existe limite.