\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\operatorname{tanh} x}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{tanh} x}{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão a avaliar é \frac{\operatorname{tanh} x}{x} quando x tende a +\infty.
  • Não há outras condições ou figuras necessárias para resolver este limite.

Passo 2

Vamos lembrar uma representação útil da função hiperbólica tangente em termos de exponenciais. Por definição,
\operatorname{tanh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.
Para analisar o comportamento quando x\to\infty, divido numerador e denominador por e^{x}:
\operatorname{tanh} x=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}.
Aqui explique: e^{-2x} é uma exponencial decrescente quando x\to\infty; portanto
\lim_{x\to\infty} e^{-2x}=0.
Substituindo esse valor na expressão acima, obtemos
\lim_{x\to\infty}\operatorname{tanh} x=\frac{1-0}{1+0}=1.
Intuição: para x grande, e^{x} domina e^{-x}, então \operatorname{tanh} x fica muito próximo de 1.

Passo 3

Agora pense no quociente \dfrac{\operatorname{tanh} x}{x}. Uma observação simples e útil (e fácil de demonstrar a partir da forma anterior) é que, para x>0,
0<\operatorname{tanh} x<1.
Explicação rápida: da expressão \operatorname{tanh} x=(1-e^{-2x})/(1+e^{-2x}) vemos que o numerador é positivo e menor que o denominador quando x>0, então \operatorname{tanh} x fica entre 0 e 1.

Passo 4

Usamos a desigualdade do passo anterior para construir uma “armadilha” (squeeze) para o quociente. Para x>0 temos
0<\frac{\operatorname{tanh} x}{x}<\frac{1}{x}.
Agora aplicamos o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem): como
\lim_{x\to\infty}0=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0,
e \dfrac{\operatorname{tanh} x}{x} está sempre entre essas duas funções para x>0, segue que
\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{tanh} x}{x}=0.
Comentário didático: a ideia é simples — o numerador \operatorname{tanh} x fica limitado (próximo de 1), enquanto o denominador x cresce sem limite, então a razão tende a zero.

Passo 5

(Alternativa / verificação por expansão assintótica) Outra forma de ver isso é usar a expansão para x grande:
\operatorname{tanh} x=1-2e^{-2x}+o(e^{-2x}).
Então
\frac{\operatorname{tanh} x}{x}=\frac{1}{x}-\frac{2e^{-2x}}{x}+o\!\big(\tfrac{e^{-2x}}{x}\big).
Como \tfrac{1}{x}\to 0 e \tfrac{e^{-2x}}{x}\to 0, concluímos novamente que o limite é 0. Esta forma só reforça a mesma conclusão de maneira mais refinada.

Resposta

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