Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão a avaliar é
quando tende a . - Não há outras condições ou figuras necessárias para resolver este limite.
Passo 2
Vamos lembrar uma representação útil da função hiperbólica tangente em termos de exponenciais. Por definição,
Para analisar o comportamento quando
, divido numerador e denominador por
:
Aqui explique:
é uma exponencial decrescente quando
; portanto
Substituindo esse valor na expressão acima, obtemos
Intuição: para
grande,
domina
, então
fica muito próximo de
.
Passo 3
Agora pense no quociente
. Uma observação simples e útil (e fácil de demonstrar a partir da forma anterior) é que, para
,
Explicação rápida: da expressão
vemos que o numerador é positivo e menor que o denominador quando
, então
fica entre
e
.
Passo 4
Usamos a desigualdade do passo anterior para construir uma “armadilha” (squeeze) para o quociente. Para
temos
Agora aplicamos o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem): como
e
está sempre entre essas duas funções para
, segue que
Comentário didático: a ideia é simples — o numerador
fica limitado (próximo de
), enquanto o denominador
cresce sem limite, então a razão tende a zero.
Passo 5
(Alternativa / verificação por expansão assintótica) Outra forma de ver isso é usar a expansão para
grande:
Então
Como
e
, concluímos novamente que o limite é
. Esta forma só reforça a mesma conclusão de maneira mais refinada.
Resposta
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