\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{11}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{11}-1}{x-1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão a ser analisada é \frac{x^{11}-1}{x-1}.
  • A aproximação é quando x tende a 1.
    Não há outras informações ou imagens necessárias para resolver este limite.

Passo 2

Verifiquemos o que acontece se tentarmos substituir x=1 diretamente:
\frac{1^{11}-1}{1-1}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0},
que é uma forma indeterminada. Quando temos 0/0 precisamos manipular a expressão algébrica (ou usar outra técnica) para obter uma expressão que permita calcular o limite. Não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição.

Passo 3

Usaremos uma identidade algébrica básica e muito útil: para todo inteiro n\ge 1 vale
x^{n}-1=(x-1)\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}.
Vou mostrar por que isso é verdade (provinha rápida): defina
S=\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}.
Multiplicando por x e subtraindo, obtemos
xS-S=(x-1)S=x^{n}-1,
pois na subtração todos os termos intermediários se cancelam (telescópico). Daí vem a identidade acima.

Passo 4

Aplicando a identidade com n=11 temos
x^{11}-1=(x-1)\sum_{k=0}^{10}x^{k}.
Para x\neq 1 podemos dividir ambos os lados por (x-1) e obter a simplificação
\frac{x^{11}-1}{x-1}=\sum_{k=0}^{10}x^{k}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{10}.
Agora a expressão do quociente não apresenta mais indeterminação para x próximo de 1 (exceto no próprio ponto x=1, mas para limite isso basta).

Passo 5

Como a soma de funções contínuas é contínua, podemos trocar limite e soma (é um número finito de termos). Assim
\lim_{x\to 1}\frac{x^{11}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\sum_{k=0}^{10}x^{k}=\sum_{k=0}^{10}\lim_{x\to 1}x^{k}=\sum_{k=0}^{10}1^{k}.
Cada \lim_{x\to 1}x^{k}=1, então a soma tem 11 termos iguais a 1.

Passo 6

Portanto o limite vale simplesmente a soma de onze uns:
\sum_{k=0}^{10}1=11.
(Observação didática: uma alternativa comum é usar a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador: \frac{d}{dx}(x^{11}-1)=11x^{10} e \frac{d}{dx}(x-1)=1, e obter \lim_{x\to1}11x^{10}=11. Ambos os métodos chegam ao mesmo resultado.)

Resposta

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