Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão a ser analisada é
. - A aproximação é quando
tende a .
Não há outras informações ou imagens necessárias para resolver este limite.
Passo 2
Verifiquemos o que acontece se tentarmos substituir
diretamente:
que é uma forma indeterminada. Quando temos
precisamos manipular a expressão algébrica (ou usar outra técnica) para obter uma expressão que permita calcular o limite. Não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição.
Passo 3
Usaremos uma identidade algébrica básica e muito útil: para todo inteiro
vale
Vou mostrar por que isso é verdade (provinha rápida): defina
Multiplicando por
e subtraindo, obtemos
pois na subtração todos os termos intermediários se cancelam (telescópico). Daí vem a identidade acima.
Passo 4
Aplicando a identidade com
temos
Para
podemos dividir ambos os lados por
e obter a simplificação
Agora a expressão do quociente não apresenta mais indeterminação para
próximo de
(exceto no próprio ponto
, mas para limite isso basta).
Passo 5
Como a soma de funções contínuas é contínua, podemos trocar limite e soma (é um número finito de termos). Assim
Cada
, então a soma tem
termos iguais a
.
Passo 6
Portanto o limite vale simplesmente a soma de onze uns:
(Observação didática: uma alternativa comum é usar a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador:
e
, e obter
. Ambos os métodos chegam ao mesmo resultado.)