1. \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}-7}{5 x^{2}+x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 7}{5x^2 + x - 3}.
Este é um limite de uma função racional no infinito; como os graus do numerador e do denominador são iguais (grau 2), podemos usar a técnica de dividir tudo por x^2 para identificar o comportamento dominante.

Passo 2

Dividindo numerador e denominador por x^2, obtemos
\frac{2x^2 - 7}{5x^2 + x - 3} = \frac{2 - \frac{7}{x^2}}{5 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}}.

Passo 3

Quando x \to \infty, os termos \tfrac{7}{x^2}, \tfrac{1}{x} e \tfrac{3}{x^2} vão todos para zero. Isso faz a fração tender a
\frac{2 - 0}{5 + 0 - 0} = \frac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}

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