.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular o limite
. - Informações do enunciado:
- Numerador: polinômio
, cujo termo de maior grau é . - Denominador: polinômio
, cujo termo de maior grau é .
- Numerador: polinômio
- Pergunta: o limite é um número finito,
, ou ?
Passo 2
Ideia principal (explicação didática e regra útil):
- Para uma função racional
, onde e são polinômios, o comportamento quando é dominado pelos termos de maior grau. - Se
e , então para grandes Isso significa: a razão se comporta como uma constante vezes . - Consequências práticas:
- Se
então o limite é . - Se
o limite é a razão dos coeficientes líderes. - Se
o limite tem módulo infinito e o sinal é o sinal do coeficiente líder vezes o sinal de .
- Se
Passo 3
Aplicando a regra ao problema:
- Aqui
(coeficiente líder ) e (coeficiente líder ). Logo . - Pela regra, para grandes
- Como
, temos (poder ímpar preserva o sinal negativo), então . Isso já sugere que o limite é .
Passo 4
Fazer de forma mais formal e passo a passo (dividindo por potências de
):
- Podemos fatorar potências de
para ver o limite claramente. Fatore o maior grau do numerador ( ) e o maior grau do denominador ( ): - Agora observe os limites das frações internas quando
: - Portanto a razão das duas tende a
. Assim
Passo 5
Conclusão final (sinal e comportamento):
- Como
e multiplicamos por , o produto diverge para . - Intuição rápida: o numerador cresce como
, o denominador como , a razão cresce como , e para negativo grande isso é um número negativo com módulo indo para infinito.