\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{5}-x^{3}}{4 x^{2}+3 x-6}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular o limite \lim_{x\to -\infty} \dfrac{2x^{5}-x^{3}}{4x^{2}+3x-6}.
  • Informações do enunciado:
    • Numerador: polinômio 2x^{5}-x^{3}, cujo termo de maior grau é 2x^{5}.
    • Denominador: polinômio 4x^{2}+3x-6, cujo termo de maior grau é 4x^{2}.
  • Pergunta: o limite é um número finito, +\infty, ou -\infty?

Passo 2

Ideia principal (explicação didática e regra útil):
  • Para uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)}, onde p e q são polinômios, o comportamento quando x\to\pm\infty é dominado pelos termos de maior grau.
  • Se \deg p = n e \deg q = m, então para grandes |x| \frac{p(x)}{q(x)} \sim \frac{\text{coeficiente líder de }p}{\text{coeficiente líder de }q}\; x^{\,n-m}.ííIsso significa: a razão se comporta como uma constante vezes x^{n-m}.
  • Consequências práticas:
    • Se n<m então o limite é 0.
    • Se n=m o limite é a razão dos coeficientes líderes.
    • Se n>m o limite tem módulo infinito e o sinal é o sinal do coeficiente líder vezes o sinal de x^{n-m}.

Passo 3

Aplicando a regra ao problema:
  • Aqui \deg p = 5 (coeficiente líder 2) e \deg q = 2 (coeficiente líder 4). Logo n-m=5-2=3.
  • Pela regra, para grandes |x| \frac{2x^{5}-x^{3}}{4x^{2}+3x-6}\sim \frac{2}{4}\,x^{3}=\frac{1}{2}\,x^{3}.
  • Como x\to -\infty, temos x^{3}\to -\infty (poder ímpar preserva o sinal negativo), então \tfrac{1}{2}x^{3}\to -\infty. Isso já sugere que o limite é -\infty.

Passo 4

Fazer de forma mais formal e passo a passo (dividindo por potências de x):
  • Podemos fatorar potências de x para ver o limite claramente. Fatore o maior grau do numerador ( x^{5}) e o maior grau do denominador ( x^{2}): \frac{2x^{5}-x^{3}}{4x^{2}+3x-6} = \frac{x^{5}\!\left(2-\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\!\left(4+\dfrac{3}{x}-\dfrac{6}{x^{2}}\right)} = x^{3}\,\frac{2-\dfrac{1}{x^{2}}}{4+\dfrac{3}{x}-\dfrac{6}{x^{2}}}.
  • Agora observe os limites das frações internas quando x\to -\infty: \lim_{x\to -\infty}\left(2-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=2,\qquad \lim_{x\to -\infty}\left(4+\dfrac{3}{x}-\dfrac{6}{x^{2}}\right)=4.
  • Portanto a razão das duas tende a \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Assim \lim_{x\to -\infty}\frac{2x^{5}-x^{3}}{4x^{2}+3x-6} = \lim_{x\to -\infty} x^{3}\cdot \frac{2-\dfrac{1}{x^{2}}}{4+\dfrac{3}{x}-\dfrac{6}{x^{2}}} = \left(\lim_{x\to -\infty} x^{3}\right)\cdot \frac{1}{2}.

Passo 5

Conclusão final (sinal e comportamento):
  • Como \lim_{x\to -\infty} x^{3} = -\infty e multiplicamos por \tfrac{1}{2}>0, o produto diverge para -\infty.
  • Intuição rápida: o numerador cresce como 2x^{5}, o denominador como 4x^{2}, a razão cresce como \tfrac{1}{2}x^{3}, e para x negativo grande isso é um número negativo com módulo indo para infinito.

Resposta

-\infty

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