\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{3}-3 x+1}{x^{5}+4 x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^{3}-3x+1}{x^{5}+4x^{3}}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2x^{3}-3x+1.
  • Denominador: x^{5}+4x^{3}.
  • O que se quer: o valor do limite quando x vai para -\infty.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): quando x\to\pm\infty em uma razão de polinômios, os termos de maior ordem (maior potência de x) dominam o comportamento. Aqui o grau do numerador é 3 e o grau do denominador é 5. Uma forma sistemática de usar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência presente no denominador, que é x^{5}. Isso é permitido para x\neq0; como estamos mandando x para -\infty, x nunca é zero nos valores considerados.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{5}:
\frac{2x^{3}-3x+1}{x^{5}+4x^{3}} = \frac{\dfrac{2x^{3}}{x^{5}}-\dfrac{3x}{x^{5}}+\dfrac{1}{x^{5}}}{\dfrac{x^{5}}{x^{5}}+\dfrac{4x^{3}}{x^{5}}} = \frac{2\cdot\dfrac{1}{x^{2}} - 3\cdot\dfrac{1}{x^{4}} + \dfrac{1}{x^{5}}}{1 + 4\cdot\dfrac{1}{x^{2}}}.
Mostrei passo a passo cada divisão para você poder reproduzir na prova sem erro: x^{3}/x^{5}=1/x^{2}, x/x^{5}=1/x^{4}, etc.

Passo 4

Agora examinamos o comportamento dos termos quando x\to -\infty.
  • Para qualquer inteiro positivo k, tem-se \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to -\infty. Isso porque |x|^{k}\to\infty e 1/|x|^{k}\to0; o sinal depende de k mas para k par (como 2,4) o resultado é positivo e tende a 0.
  • Portanto: 2\cdot\dfrac{1}{x^{2}}\to 0,\qquad -3\cdot\dfrac{1}{x^{4}}\to 0,\qquad \dfrac{1}{x^{5}}\to 0,\qquad 4\cdot\dfrac{1}{x^{2}}\to 0.
  • Assim o numerador da fração simplificada tende para 0 e o denominador tende para 1.

Passo 5

Interpretação final do limite (passo lógico): como a expressão simplificada é
\frac{2\cdot\dfrac{1}{x^{2}} - 3\cdot\dfrac{1}{x^{4}} + \dfrac{1}{x^{5}}}{1 + 4\cdot\dfrac{1}{x^{2}}},
e os termos com 1/x^{k} vão todos para 0 quando x\to -\infty, o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1. Portanto a razão tende a 0. (Intuitivamente: o denominador cresce como |x|^{5} enquanto o numerador cresce só como |x|^{3}; o denominador domina e empurra a fração para zero.)

Resposta

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